еквівалентних визначень правильних багатогранників. Одне з них звучить так: багатогранник називається правильним, якщо існують три концентричні сфери, одна з яких стосується всіх граней багатогранника, інша стосується всіх його ребер і третя містить всі його вершини. Це визначення нагадує одне з можливих визначень правильного багатокутника: багатокутник називається правильним, якщо він вписаний в деяку окружність і описаний біля іншої окружності, причому ці окружності концентричні. Інше визначення: правильним многогранником називається такий опуклий багатогранник, всі грані якого є однаковими правильними багатокутниками і всі двогранні кути попарно рівні.
Простим будемо називати багатогранник без «дірок», так що його поверхня шляхом деформації може бути переведена в поверхню сфери (рис. 19 а).
аб Малюнок 19 Багатокутники: а) простий, б) непростий
Існує п'ять правильних багатогранників (рис. 20):
1. Тетраедр (у підставі фігури четирехграннік) - обмежений чотирма рівносторонніми і рівними трикутниками.
2. Гексаедр (в основі - четирехграннік, або куб) - обмежений шістьма рівними квадратами.
. Октаедр (в основі - восьмигранник) - обмежений вісьмома рівносторонніми і рівними трикутниками.
. Додекаедр (в основі - двенадцатигранник) - обмежений дванадцятьма рівносторонніми і рівними п'ятикутниками.
. Ікосаедр (в основі - двадцатигранник) - обмежений двадцятьма рівносторонніми і рівними трикутниками.
ТетраедрОктаедр КубДодекаедр Ікосаедр <# «justify» height=«156» src=«doc_zip28.jpg» /> Малюнок 20 Правильні багатокутники
Одне з найдавніших згадок про правильні многогранниках знаходиться в трактаті Платона (427-347 до н. е..) «Тімаус». Тому правильні багатогранники також називаються Платоновим тілами (хоча відомі вони були задовго до Платона).
За допомогою теореми Ейлера легко переконатися, що Платонових тіл дорівнює 5.
Нехай правильний багатогранник має Г граней, кожна з яких є правильний n-кутник, і що у кожної вершини сходиться r ребер.
Тоді, вважаючи по гранях: nг=2Р
Вважаючи по ребрах: RВ=2Р
Тоді
Треба зауважити, чтоn> 2, r> 2, так як багатокутник має не менше трьох сторін і в кожній вершині сходиться не менше 3-х граней.
З іншого боку обидва числа n і r не можуть бути більше 3, так як їх сума в іншому випадку була б менше 1/2.
При n=3, одержуємо
Оскільки може приймати значення,, тобто r=3, 4, 5.
Якщо r=3, n=3, то P=6, Г=В=- це тетраедр.
Якщо r=4, n=3, то Р=12, Г =, В=- це октаедр.
Якщо r=5, n=3, то Р=30, Г=В=- це ікосаедр.
Нехай тепер r=3, тоді рівність прийме вигляд:
, або
Звідси випливає, що n може приймати значення 3, 4, 5.
Випадок n=3 розібраний.
Залишаються два випадки:=4 при k=3, тоді, тобто Р=12, Г =, В=- це куб.=5 при k=3, тоді, Р=30, Г=12, В=30 - це додекаедр.
Але є й такі багатогранники, у яких все багатогранні кути рівні, а грані - правильні, але різнойменні правильні багатокутники. Многогранники такого типу називаються Рівнокутн...
