багатогранник лежить по одну сторону від площини кожної своєї межі.
Доказ. Припустимо гидке, тобто існують точки A і B багатогранника M, що лежать по різні сторони від площини деякої його грані N (рис. 10). Розглянемо піраміди з вершинами в точках A, B, підставами яких є грань N. В силу опуклості багатогранника, ці піраміди цілком в ньому містяться. Це суперечить тому, що N є гранню багатогранника M.
Для опуклих багатогранників має місце властивість, що зв'язує число його вершин, ребер і граней, доведене в 1752 році Леонардом Ейлером, і отримало назву теореми Ейлера.
Теорема Ейлера. Нехай В - число вершин, Р - число ребер і Г - число граней простого багатогранника (рис. 11), тоді В - Р + Г=2
Уявімо, що багатогранник всередині порожній і поверхня його зроблена з тонкої гуми. Тоді, вирізавши попередньо одну грань, можна залишилася поверхню деформувати так, що вона стелитиметься на площину (рис.12). Звичайно, грані кути і ребра багатогранника випробують великі зміни, але «сітка», складена з вершин і ребер на площині буде містити те ж число вершин і ребер, що і початковий багатогранник, тоді як число граней стане на одну менше.
Малюнок 11
Малюнок 12
Малюнок 13
Тепер належить переконатися, що для отриманої сітки на площині буде справедливо рівність В - Р + Г=1, тобто одна грань вирізана.
«Тріангуліруем» плоску сітку: якщо в сітці є багатокутник з числом кутів більше трьох, проведемо діагональ (рис. 13). У результаті число ребер Р і граней Г збільшиться на 1, а В - Р + Г не зміниться.
Малюнок 14
Малюнок 15
Малюнок 16
Будемо продовжувати цей процес, поки сітка не буде складатися з одних трикутників (рис. 14). Деякі з цих трикутників мають сторони, що належать до кордону сітки. Приберемо ці відрізки (рис. 15). Число ребер і число граней зменшаться однаково, а В - Р + Г не змінилося. Продовжимо цей процес.
Прибрали два ребра, одну вершину, і одну грань (рис. 16), а В - Р + Г не змінилося.
Малюнок 17
Малюнок 18
Продовжуємо процес (рис. 17-18). Для трикутника В - Р + Г=1
Оскільки В - Р + Г змінювалася в міру перетворення сітки, то і для вихідного багатокутника В - Р + Г=1. А якщо врахувати, що одна грань була вирізана, то В - Р + Г=2
Опуклий багатогранник називається топологічно правильним, якщо його гранями є багатокутники з одним і тим же числом сторін і в кожній вершині сходиться однакове число граней.
Два багатогранника називаються топологічно еквівалентними, якщо один з іншого можна отримати безперервної деформацією.
Наприклад, все трикутні піраміди є топологічно правильними многогранниками, еквівалентними між собою. Всі паралелепіпеди також є еквів?? Лентний між собою топологічно правильними многогранниками. Не є топологічно правильними многогранниками, наприклад, чотирикутні піраміди.
4. Правильні багатогранники
Правильним многогранником називається багатогранник, у якого всі грані правильні рівні багатокутники, і всі двогранні кути рівні.
Є декілька ...
