а-напівправильними многогранниками. Вперше багатогранники таке типу відкрив Архімед. Їм докладно описані 13 багатогранників, які пізніше на честь великого вченого були названі тілами Архімеда.
Це усічений тетраедр (рис 21 а), усічений оксаедр (рис 21 б), усічений ікосаедр (рис 21 в), усічений куб (рис 21 г), усічений додекаедр (рис 21 д), кубооктаедр (рис 21 е), ікосододекаедр (рис 21 ж), усічений кубооктаедр (рис 21 з), усічений ікосододекаедр (рис 21 і), ромбокубооктаедр (рис 21 к), ромбоікосододекаедр (рис 21 л), «Плосконос» (Кирпатий) куб (рис 21 м), «Плосконос» (Кирпатий) додекаедр (рис 21 н).
а) б) в) г) д) е) ж) з) і) к) л) м) н) Рисунок 21 архимедову тіла
Напівправильні багатогранники або архимедову тіла - опуклі багатогранники, які мають двома властивостями:
1. Всі грані є правильними багатокутниками двох або більше типів (якщо всі грані - правильні багатокутники одного типу, це правильний багатогранник);
2. Для будь-якої пари вершин існує симетрія багатогранника (тобто рух переводящее багатогранник в себе) переводить одну вершину в іншу. Зокрема всі багатогранні кути при вершинах конгруентний.
Крім напівправильних багатогранників з правильних багатогранників - Платонових тіл, можна отримати так звані правильні зірчасті багатогранники. Їх усього чотири, вони називаються також тілами Кеплера-Пуансо. Кеплер відкрив малий додекаедр, названий їм колючим або їжаком, і великий додекаедр. Пуансо відкрив два інших правильних зірчастих багатогранника, двоїстих відповідно першим двом: великий зірчастий додекаедр і великий ікосаедр.
У роботі «Про багатокутниках і многогранниках» (1810) Пуансо описав чотири правильні зірчастих багатогранника, але питання про існування інших таких багатогранників залишався відкритим. Відповідь на нього була дана рік потому, в 1811 році, французьким математиком О. Коші (1789-1857). У роботі «Дослідження про многогранники» він довів, що інших правильних зірчастих багатогранників не існує. Розглянемо питання про те, з яких правильних багатогранників можна отримати правильні зірчасті багатогранники. З тетраедра, куба і октаедра правильні зірчасті багатогранники виходять. Візьмемо додекаедр. Продовження його ребер призводить до заміни кожної грані зірчастим правильним п'ятикутником (рис. 22 а), і в результаті виникає багатогранник, який називається малим зірчастим додекаедрів (рис. 22 б).
Малюнок 22 Малюнок 23
При продовженні граней додекаедра виникають дві можливості. По-перше, якщо розглядати правильні п'ятикутник, то вийде так званий великий додекаедр (рис. 23). Якщо ж, по-друге, як грані розглядати зірчасті п'ятикутники, то виходить великий зірчастий додекаедр (рис. 24).
багатогранник поверхню грань ребро
Малюнок 24 Малюнок 25
Ікосаедр має одну зірчасті форму. При продовженні граней правильного ікосаедра виходить великий ікосаедр (рис. 25).
Таким чином, існують 4 типи правильних зірчастих багатогранників. Зірчасті багатогранники дуже декоративні, що дозволяє широко застосовувати їх в ювелірній промисловості при виготовленні всіляких прикрас. Багато форм зірчастих багатогранників підказує сама природа. Сніжинки - це зірчасті багатогранники (рис 26). З давнини люди намагалися описати вс...
