к, щоб це рівняння легко розв'язував. Знайшовши его інтегральну криву х 1 =? 1 (s), х 3 =? 3 (s), яка проходитиме через точку (х 01, х 02), дістанемо рівняння крівої (19), в якому? (S)=(? 1 (s),? (? 1 (s)),? 1 (s)). Вона водночас є фазових кривих автономної системи (19), де f (x) Визначи формулою (17).
ПРИКЛАД 3
Приріст dW теплової ЕНЕРГІЇ газу пов «язаний Із приростами об» єму dV та Тиску dp співвідношенням (закон Збереження ЕНЕРГІЇ)
, (20)
де R - газова стала, С?- Теплоємність газу при сталлю об'ємі, С р=С? + АR - теплоємність газу при сталлю лещата, А - стала (термічній еквівалент роботи).
Для даного випадка Умова теореми Фробеніуса НЕ віконується:
.
Тому рівняння (20) НЕ є Цілком інтегрованім. Із фізічного Погляду НЕ означає, что теплова енергія газу не є функцією его стану, Який візначається значень V, р. Тепло, Котре поглінається (віділяється) во время Деяк процеса - переходу Зі стану (V 0, р 0) у стан (V, р), поклади від крівої? , Что сполучає точки x 0 та x, и зображується кріволінійнім інтегралом
Наприклад, крива, Вздовж Якої віконується Рівність
, (21)
Забезпечує адіабатічній процес (W=const). Із рівняння (21) после відокремлення змінніх дістаємо формулу Пуассона для адіабаті:, де С - довільна стала.
Если скористати формулою Клапейрона Рv=RТ, де Т - абсолютна температура газу, й домножіті обідві Частини рівняння (20) на 1 / T, то побачимо, что
Тому кріволінійній інтеграл НЕ поклади від шляху інтегрування, Який сполучає точку (V 0, р 0) Зі змінною точкою (V, р). Цею інтеграл візначає ентропію - ф?? Зічну величину, яка Вже є функцією стану газу.
4. Цілком інтегровані рівняння Пфаффа в R 3
Нехай n=З, а форма? задовольняє умову (13). Покажемо, что через шкірні точку х 0=(х 01, х 02, х 03) D можна провести інтегральну поверхню рівняння (1), и притому позбав одну. Способ побудова цієї поверхні нагадує конструкцію розв'язку задачі Коші для рівняння з частинними похіднімі ї передбачає Такі кроки.
знаходимо інтегральну криву Г: х =? (S), s I рівняння Пфаффа, яка проходитиме через точку х 0.
Задаємо в D векторне поле g (x) З 1 (D? R 3) так, щоб воно Було Ортогональним до векторного поля а (х), тоб задовольняло умову
a (x) g (x)=0, (22)
и НЕ дотікалося крівої Г у жодній ее точці. Зокрема, ЯКЩО для шкірного s I вектором? '(S) i rot a (? (S)) неколінеарні, то можна покластись
g (x)=rot a (x).
Поле g (х) бажано вібіраті так, щоб система
=g (х) (23)
булу інтегровною.
З кожної точки крівої Г віпускаємо фазових кривих системи (23) i таким чином утворюємо поверхню M Г, яка проходитиме через Цю криву (рис. 2, а).
Віявляється, м г и є Шуканов інтегральною поверхнею рівняння Пфаффа. Точніше, ЯКЩО позначіті через? (T, s) розв'язок системи (23), Який задовольняє початкових умову? (0, s) =? (S),...
