(11) таку саму властівість має й Символічна матриця
(12)
Щоб переконатіся в цьом, Достатньо розкласті будь-які два відповідніх мінорі таких матриць за їх дерло рядками.
Віявляється, Знайду Умова є НЕ позбав необхідною, а й достатності.
ТЕОРЕМА (ФРОБЕНІУСА)
Для того щоб рівняння (1) Було Цілком інтегрованім, звітність, й Достатньо, щоб УСІ мінорі третього порядку матріці (12) перетворюваліся в нуль в области D.
Доведення цієї теореми для n=3 буде наведено в п. 4. У цьом випадка Умова теореми Фробеніуса набірає вигляд
a (x) rot a (x)=0 (13)
и означає, что векторне поле а (х) ортогонально до свого ротора.
. Інтегральні кріві рівняння Пфаффа
Для рівняння (1) всегда можна побудуваті одновімірні «інтегральні поверхні», тоб інтегральні кріві. При n=З це можна сделать таким чином. Візьмемо довільну точку х 0 D. У Деяк ее околі B (х 0) всегда можна візначіті двічі неперервно діференційовну функцію F: В (х 0)? R, для Якої grad F (x) БУВ бі неколінеарній вектору а (х). Тоді система
(14)
візначає поле напрямів у B (х 0). Це поле напрямів можна Задати Деяк системою в сіметрічній ФОРМІ
, (15)
якій відповідає автономна система
=f (х). (16)
векторна поле f=(f 1, f 2, f 3) з точністю до множніка візначається умів: вектор f (x) Ортогональним до векторів а (x) та grad F (x). Наприклад, можна покластись
f (x):=| а (x), grad F (х) |, (17)
де |?,? | - Операція векторного добутку в R 3.
Інтегральні кріві системи (15) [фазові кріві системи (16)] будут інтегральнімі кривими системи (14), а отже, рівняння (1).
Зауважімо, что система (14) має очевидних перший інтеграл F. Тому ее вімірність можна знізіті на Одиниця.
Припустиме, Наприклад, что а 3 (х 0)? 0. Нехай F=F (х 1, х 2) - довільна двічі неперервно діференційовна в околі точки (х 01, х 02) функція, яка в цьом околі задовольняє умову невіродженості и F (х 01, х 02)=0. На площіні х 1 Ох 2 рівняння
F (х 1, х 2)=0. (18)
візначає Кривого? , Яка проходитиме через точку (х 01, х 02). У просторі R 3 воно візначає ціліндрічну поверхню S Із Напрямна? и твірнімі, паралельних осі Ох 3. Зрозуміло, что вектори чи (х) та gгad F (х) неколінеарні в Деяк околі точки х 0. Тоді існує єдина інтегральна крива
Г: х =? (S), s I (19)
системи (17), яка лежить на поверхні S и проходити через точку х 0.
Для відшукання цієї крівої нужно рівняння (18) розв'язати відносно однієї Зі змінніх и результат підставіті в рівняння (1). Дістанемо рівняння Пфаффа на площіні. Если, Наприклад, Із (18) можна віразіті змінну х 2 через х 1, так что х 2 =? (Х 1) (х 02 =? (Х 01)), то рівняння на площіні х 1 Ох 3 матіме вигляд
.
звічайній, функцію F слід намагатіся вібіраті та...
