Звідси застосувавши першу оцінку при і другу при отримуємо:
і, отже,
Ця нерівність зберігається і в межі
Що очевидно суперечить нерівності (4).
Таким чином, функція, до якої сходиться в основному послідовність, є функція розподілу; згідно прямий граничній теоремі її характеристична функція дорівнює.
Щоб закінчити доказ теореми, нам залишається довести, що і вся послідовність (2) сходиться в основному до функції F (x). Припустимо, що це не так. Тоді знайдеться підпослідовність функцій
(5)
сходящаяся в основному до деякої функції, відмінної від принаймні в одній з точок безперервності. За вже доказанному повинна бути функцією розподілу з характеристичною функцією f (t). По теоремі єдиності має бути
.
Це суперечить зробленому припущенню.
Зауважимо, що умови теореми виконані в кожному з двох наступних випадків:
) послідовність характеристичних функцій сходиться до деякої функції f (t) рівномірно на кожному кінцевому інтервалі t;
) послідовність характеристичних функцій сходиться до характеристичної функції f (t).
Приклад. Як приклад використання граничних теорем розглянемо доказ інтегральної теореми Муавра - Лапласа.
У прикладі 4 властивостей характеристичних функцій, ми знайшли характеристическую функцію випадкової величини
Скориставшись розкладанням в ряд Маклорена, знаходимо, що
Так як при
,
то
.
В силу зворотної граничної теореми звідси випливає, що за будь x
коли
З безперервності граничної функції легко вивести, що ця збіжність буде рівномірна по x.
Література
1. Гнеденко Б.В. «Курс теорії ймовірностей», Москва, «Наука» 1988.
. Вентцель Е.С. «Теорія ймовірностей», Москва, «Вища школа» 1998.
. Гмурман Є.В. «Теорія ймовірностей і математична статистика», Москва, «Вища школа» 2003.
. Фірсов О.М. «Теорія ймовірностей. Частина I », Санкт-Петербург, 2005.
. Кібзун. «Теорія ймовірностей і математична статистика».
