ердження про і доведено. Величина при досить великому n може бути як завгодно малої в силу теореми Хеллі для кінцевого інтервалу.
Теорема доведена.
. Граничні теореми для характеристичних функцій
Найважливішими з точки зору додатків характеристичних функцій висновку асимптотических формул теорії ймовірностей є дві граничні теореми - пряма і зворотна. Ці теореми встановлюють, що відповідність, що існує між функціями розподілу і характеристичними функціями, не тільки взаємно однозначно, але і безперервно.
Пряма гранична теорема. Якщо послідовність функцій розподілу
сходиться в основному до функції розподілу, то послідовність характеристичних функцій
сходиться до характеристичної функції f (t). Ця збіжність рівномірна на кожному кінцевому інтервалі t.
Доказ. Так як
і функція неперервна і обмежена на всій прямій, то згідно узагальненої другою теоремою Хеллі для будь-якого t при
.
Твердження, що ця збіжність рівномірна на кожному кінцевому інтервалі t, перевіряється буквально тими ж міркуваннями, які ми провели в доказі другий теореми Хеллі.
Зворотній гранична теорема. Якщо послідовність характеристичних функцій
(1)
Сходиться до безперервної функції, то послідовність функцій розподілу
(2)
Сходиться в основному до деякої функції розподілу (в силу прямої граничної теореми)).
Доказ. На підставі першої теореми Хеллі укладаємо, що послідовність (2) неодмінно містить підпослідовність
(3)
що сходяться в основному до деякої неубутною функції. При цьому зрозуміло, що функцію ми можемо вважати безперервної ліворуч
.
Взагалі кажучи, функція може і не бути функцією розподілу, так як для цього повинні задовольнятися ще умови і. Дійсно, для послідовності функцій
Гранична функція і, отже, і так само рівні. проте в умовах нашої теореми, обов'язково буде і.
Справді, якби це було не так, то взявши до уваги, що для граничної функції F (x) має бути і, ми мали б:
Візьмемо тепер яке - небудь позитивне число, менше. Оскільки за умовою теореми послідовність характеристичних функцій (1) сходиться до функції, то. А так як, понад те, функція, неперервна, то можна вибрати досить мале позитивне число таке, що буде мати місце рівність
(4)
Але в той же час можна вибрати і настільки велике K, щоб при k> K було
Так як є характеристична функція, то
Інтеграл, що стоїть в правій частині цієї рівності, можна оцінити таким способом. З одного боку, так як, то
З іншого боку,
і так як, то при
...
