триці.
За допомогою елементарних перетворень матрицю можна привести до східчастого увазі:
В
де
Ранг ступінчастою матриці дорівнює r.
Рядки (стовпці) матриці e1, e2, ..., em називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа l1, l2, ..., lm, не рівні одночасно нулю, що лінійна комбінація рядків матриці дорівнює нульової рядку: l1e1 + l2e2 + ... + lmem = 0, де 0 = (0,0, ..., 0). В іншому випадку рядка матриці називаються лінійно незалежними. p> Теорема про ранг матриці
Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків або стовпців.
Метод оздоблюють миноров
Метод облямовують миноров знаходження рангу матриці А полягає в наступному:
) Знайти небудь мінор М1 першого порядку (тобто елемент матриці), відмінний від нуля. Якщо такого мінору немає, то матриця А нульова і r (A) = 0
) Обчислювати мінори 2-го порядку, що містять М1 (оздоблюють М1) до тих пір, поки не знайдеться мінор М2, відмінний від нуля. Якщо такого мінору немає, то r (A) = +1, якщо є, то r (A) Ві 2 і т.д.
) Обчислювати (якщо вони існують) мінори к-го порядку, оздоблюють мінор Мк-1 В№ 0. Якщо таких мінорів немає або вони всі рівні нулю, то r (А) = k-1; якщо є хоча б один такий мінор Мк В№ 0, то r (A) Ві k, і процес триває. p> При знаходженні рангу матриці таким способом досить на кожному кроці знайти всього один ненульовий мінор к-го порядку, причому шукати його тільки серед мінорів, що містять мінор Мк-1 В№ 0.
ТЕМА 4. Зворотний матриця
Визначення зворотної матриці. Умова існування
Матриця A? 1 називається оберненою до квадратної матриці A n-го порядку, якщо
В· A? 1 = A? 1 В· A = E,
де E - одинична матриця n-ого порядку.
Умова існування зворотної матриці. Для того, щоб квадратна матриця A мала зворотний, необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженому, тобто det A? 0. Якщо зворотна матриця існує, то вона єдина. p align="justify"> Обчислення зворотної матриці за допомогою алгебраїчних доповнень
Задана квадратна матриця 3-го порядку
В
Для обчислення зворотної матриці методом алгебраїчних доповнень:
1. Обчислюємо визначник матриці A. Якщо det A? 0, те матриця A має зворотну. p align="justify">. Складаємо матрицю з алгебраїчних доповнень елементів матриці A
В
. Знаходимо транспоновану матрицю:
=
1. Розділивши матрицю Гѓ Т на визначник, отримуємо шукану зворотну матрицю:
В
. Перевіряємо, що A В· A? 1 = E, і записуємо відповідь. p align="justify"> Аналогічно обчислюється зворотна матриця для невиродженому матриці будь-якого порядку.
Матричні рівняння
1. Розглянемо матричне рівняння В· X = B,
де A-квадратна невироджених (det A? 0) матриця порядку n, B - матриця розміру n Г— m і X - невідома матриця.
Так як матриця A - невироджених, то існує зворотна матриця A? 1. Помножимо обидві частини рівняння зліва (операція множення матриць некомутативними) на матрицю A? 1. За визначенням зворотної матриці, отримаємо
(A? 1 В· A) В· X = A? 1 В· B Гћ E В· X = A? 1 В· B Гћ X = A? 1 В· B.
Таким чином, шукане рішення матричного рівняння визначається формулою:
= A? 1 В· B
Зазначимо, що кількість рядків матриці B повинно бути одно порядку матриці A.
2. Розглянемо матричне рівняння
В· A = B,
де A - квадратна невироджених (det A? 0) матриця порядку n, B - матриця розміру m Г— n і X - невідома матриця.
Так як матриця A - невироджених, то існує зворотна матриця A? 1. Помножимо обидві частини рівняння праворуч на матрицю A? 1. За визначенням зворотної матриці, отримаємо
X В· (A В· A? 1) = B В· A? 1 Гћ X В· E = B В· A? 1 Гћ X = B В· A? 1.
Таким чином, шукане рішення матричного рівняння:
= B В· A? 1.
Зазначимо, що кількість стовпців матриці B має дорівнювати порядку матриці A.
ТЕМ...
