А - матриця або вектор; - вектор.
Число елементів вектора і індекс його останнього елемента збігаються, якщо індекси нумеруються з 1, т. е. системна константа ORIGIN дорівнює 1.
Малюнок 27 - Розмір матриць і векторів.
2.2.4 Сортування матриць
Часто буває потрібно переставити елементи матриці або вектора, розташувавши їх у певній рядку або стовпці в порядку зростання або спадання. Для цього є декілька вбудованих функцій, які дозволяють гнучко управляти сортуванням матриць:
SORT (v) - сортування елементів вектора в порядку зростання;
CSORT (A, i) - сортування рядків матриці вибудовуванням елементів 1-гостолбца в порядку зростання;
RSORT (A, i) - сортування стовпців матриці вибудовуванням елементовi-го рядка в порядку зростання;
REVERSE (v) - перестановка елементів вектора в зворотному порядку; - вектор;
А - матриця; - індекс рядка або стовпця.
Якщо елементи матриць або векторів комплексні, то сортування ведеться по дійсній частині, а уявна частина ігнорується.
Малюнок 28 - Сортування векторів.
Малюнок 29 - Сортування матриць по стовпцю.
Малюнок 30 - Сортування матриць по рядку (матриця А та сама).
2.2.5 Норма квадратної матриці
У лінійній алгебрі використовуються різні матричні норми (NOR), які ставлять у відповідність матриці деяку скалярну числову характеристику. Норма матриці показує порядок величини матричних елементів. У різних специфічних завданнях алгебри застосовуються різні види норм. MATHCAD має чотири вбудованих функції для розрахунку різних норм квадратних матриць:
NORM1 (A) - норма в просторі L1;
NORM2 (A) - норма в просторі L2;
- NORME (A) - евклидова норма (EUCLIDEAN NORM);
NORMI (A) - max-норма, або ^ -Норма (INFINITY NORM);
А - квадратна матриця.
У більшості завдань неважливо, яку норму використовувати. Як видно, у звичайних випадках різні норми дають приблизно однакові значення, добре відбиваючи порядок величини матричних елементів. Визначення інших норм зацікавлений читач відшукає в довідниках з лінійної алгебри або в Центрі Ресурсів MATHCAD.
Малюнок 31 - Норми матриць.
2.2.6 Число обумовленості квадратної матриці
Ще однією важливою характеристикою матриці є її число обумовленості (CONDITIONNUMBER). Число обумовленості є мірою чутливості системи лінійних рівнянь a * x=b, обумовленою матрицею «a», до погрішностей завдання вектора «b» правих частин рівнянь. Чим більше число обумовленості, тим сильніше цей вплив і тим більше нестійкий процес знаходження рішення. Число обумовленості пов'язане з нормою матриці і обчислюється по-різному для кожної з норм;
COND1 (а) - число обумовленості в нормі L1;
COND2 (а) - число обумовленості в нормі L2;
CONDE (а) - число обумовленості в евклідової нормі;
CONDI (а) - число обумовленості в нескінченній нормі;
а - квадратна матриця.
Малюнок 32 - Числа обумовленості матриць.
Зверніть увагу, що перша з матриць є добре обумовленою, а друга - погано обумовленою (дві її рядки визначають дуже близькі системи рівнянь, з точністю до множника). Другий рядок малюнка дає формальне визначення числа обумовленості як твори норм вихідної і зворотної матриць. В інших нормах визначення, точно таке ж.
2.2.7 Ранг матриці
Рангом (RANK) матриці називають найбільше натуральне число k, для якого існує не рівний нулю визначник k -гo порядку подматріци, складеної з будь-якого перетину k стовпців і k рядків матриці.
Для обчислення рангу в MATHCAD призначена функція RANK.
RANK (A) - ранг матриці;
А - матриця.
Малюнок 33 - Ранг матриці.
2.3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Центральним питанням обчислювальної лінійної алгебри є вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), т. е. систем рівнянь виду
k11x1 + k12x2 + ... + k1nxn + l1=0x1 + k22x2 + ... + k2nxn + l2=0 ... kn1x1 + kn2x2 + ... + knnxn + ln=0
До систем лінійних рівнянь зводиться безліч, якщо не сказати більшість, з...
