адач обчислювальної математики.
СЛАР має єдине рішення, якщо матриця А є невиродженою, або по-іншому, не сингулярної, т. е. її визначник не дорівнює нулю. З обчислювальної точки зору, рішення СЛАР не представляє труднощів, якщо матриця А не дуже велика. З великою матрицею проблем також не виникне, якщо вона не дуже погано обумовлена.
У MATHCAD існує два способи вирішення СЛАР. В одному способі слід використовувати обчислювальний блок GIEN/FIND, а в іншому - вбудовану функцію LSOLVE.
LSOLVE (А, b) - рішення системи лінійних рівнянь;
А - матриця коефіцієнтів системи;
b - вектор правих частин.
Малюнок 34 - Рішення СЛАР.
Малюнок 35 - Символьний розв'язок СЛАР (продовження рис.34).
У деяких випадках, для більшої наочності подання СЛАР, його можна вирішити точно так, як систему СНУ. Не забувайте, що при чисельному рішенні всіх невідомих потрібно присвоїти початкові значення. Вони можуть бути довільними, т. К. Розв'язок СЛАР з невиродженої матрицею єдино.
При вирішенні СЛАР за допомогою функції FIND MATHCAD автоматично вибирає лінійний чисельний алгоритм, у чому можна переконатися, викликаючи на імені FIND контекстне меню.
Малюнок 36 - Рішення СЛАР за допомогою обчислювального блоку.
2.4 Власні вектори і власні значення матриць
Друга за найбільш частого застосування задача обчислювальної лінійної алгебри -це завдання пошуку власних векторів х і власних значень X матриці А, т. е. рішення матричного рівняння А-х=А/х. Таке рівняння має рішення у вигляді власних значень А.1Д2, ... і відповідних їм власних векторів xi, x2, ... Для вирішення таких завдань на власні вектори і власні значення в MATHCAD вбудовано декілька функцій, що реалізують досить складні обчислювальні алгоритми:
EIGENVAIS (A) - обчислює вектор, елементами якого є власні значення матриці А;
EIGENVECS (A) - обчислює матрицю, що містить нормовані власні вектори, відповідні власним значенням матриці А. n-й стовпець обчислюваної матриці відповідає власному вектору n-го власного значення, обчислюваного EIGENVAIS;
EIGENVEC (A, альфа,) - обчислює власний вектор для матриці А і заданого власного значення А.;
А - квадратна матриця.
Малюнок 37 - Пошук власних векторів і власних значень.
Малюнок 38 - Перевірка правильності знаходження власних векторів власних значень (продовження мал.37).
Крім розглянутої проблеми пошуку власних векторів і значень, іноді розглядають більш загальну задачу, звану завданням на узагальнені власні значення: А-х=А/в-х. У її формулюванні крім матриці А присутня ще одна квадратна матриця в. Для задачі на узагальнені власні значення є ще дві вбудовані функції, дія яких аналогічно розглянутим:
GENVAIS (A, в) - обчислює вектор v власних значень, кожен з яких задовольняє завданню на узагальнені власні значення;
GENVECS (A, B) - обчислює матрицю, що містить нормовані власні вектори, відповідні власним значенням у векторі v, який обчислюється за допомогою GENVAIS. У цій матриці 1 -й стовпець є власним вектором х, що задовольняє завданню на узагальнені власні значення;
А, в - квадратні матриці.
Малюнок 39 - Пошук узагальнених власних векторів і власних значень.
Малюнок 40 - Перевірка правильності знаходження власних векторів і власних, значень (продовження мал.39).
2.5 Матричні розкладання
Сучасна обчислювальна лінійна алгебра - бурхливо розвивається наука. Головна проблема, розглянута нею, - це проблема розв'язання систем лінійних рівнянь. В даний час розроблено безліч методів, що спрощують цю задачу, які, зокрема, залежать від структури матриці СЛАР. Більшість методів засновано на уявленні матриці у вигляді твори інших матриць спеціального виду, або матричних, разложениях. Як правило, після певного розкладання матриці завдання лінійної алгебри істотно спрощується. У MATHCAD є кілька вбудованих функцій, що реалізують алгоритми найбільш популярних матричних розкладань.
. 5.1 Розкладання Холецкого
Розкладанням Холецкого симетричною матриці А є представленіевіда A=L-LT, де L - трикутна матриця (т. е. матриця, по одну із сторонот діагоналі якої знаходяться одні нулі). Алгоритм Холецкого реалізований у вбудованій функцііCHOLESKY.
CHOLESKY (А) - розкладання Холецкого;
...
