шими підставами, їх походження і застосування
Крім десяткової системи числення можливі позиційні системи числення з будь-яким іншим натуральним підставою. У різні історичні періоди багато народів широко використовували різні системи числення.
дванадцяткова система числення - її походження теж пов'язано з рахунком на пальцях: так як чотири пальці руки (окрім великого) мають в сукупності дванадцятій фаланг, то по цих фалангам, перебираючи їх по черзі великим пальцем, і ведуть рахунок від одного до дванадцяти. Потім дванадцятій приймається за одиницю наступного розряду і так далі. В усному мовленні залишки Дванадцяткова системи збереглися і до наших днів: замість того, щоб сказати дванадцятій часто говорять дюжина raquo ;. Багато предметів (ножі, виделки, тарілки) дуже часто вважають саме дюжинами, а не десятками; сервізи бувають, як правило, на дванадцять або шість персон. Інший приклад: дванадцять місяців на рік, дванадцятеро цифр на циферблаті годинника.
Вісімкова система числення - позиційна система числення з основою 8. Для представлення чисел в ній використовуються арабські цифри. Використовується всього вісім цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.Восьмерічная система часто використовується в областях, пов'язаних з цифровими пристроями. Характеризується легким перекладом вісімкових чисел в двійкові і назад, шляхом заміни вісімкових чисел на тріади довічних. Широко використовувалася в програмуванні в 1950-70-і рр. і взагалі в комп'ютерній документації, проте в даний час майже повністю витіснена шістнадцятковій.
шістдесяткова система числення існувала і виникла в Стародавньому Вавілоні. Думки істориків з приводу того, як саме виникла ця система, розходяться. Одна з гіпотез, полягає в тому, що відбулося злиття двох племен, одне з яких користувалося шестерічной системою числення, а друге - десяткової. Шістдесяткова система виникла як компроміс між цими двома системами. Інша гіпотеза полягає в тому, що вавилоняни вважали тривалість року рівний 360 діб, що, природно, пов'язувалося з числом 60. проте це припущення теж не можна вважати достатньо обгрунтованим: астрономічні пізнання стародавніх вавилонян були досить значні, тому слід думати, що похибка, з якою визначається тривалість року, була значно меншою, ніж п'ять діб.
пятерічние система числення була поширена у ряду африканських племен. Зв'язок цієї системи з будовою людської руки - первісною лічильної машини - Досить очевидна. У Китаї прийнято вважати п'ятами, причому п'яти групуються в пари; виходить своєрідна система числення, в якій кожна одиниця парного порядку в п'ять, а непарного - в два рази більше попередньої. Однак ця система числення з подвійним підставою, що відображає рахунок за допомогою двох рук, досить складна. Набагато частіше використовується чиста п'ятіркова система, тобто позиційна система з основою п'ять.
двадцатерічная система числення була прийнята в ацтеків і майя -народ, що населяли протягом багатьох століть великі області американського континенту і створили там високу культуру, майже повністю знищену іспанськими завойовниками в XVI - XVII ст. Та ж двадцатерічная система була прийнята і у кельтів, які населяли Західну Європу, починаючи з II ст. до нашої ери.
З п'яти перерахованих вище систем числення, що зіграли, поряд з десятковою, помітну роль у розвитку людської культури, всі, крім Шістдесяткова, джерела якої не ясні, пов'язані з тим чи іншим способом рахунки по пальцях рук (або і рук, і ніг), тобто мають безперечне анатомічне походження.
Всі позиційні системи з будь-яким натуральним підставою влаштовані однаково. У будь-якій позиційній системі числення підставу записується у вигляді десяти, оскільки воно є одиниця другого розряду. Всі натуральні числа, менше підстави, повинні бути однозначними і зображуватися різними знаками. Тому кількість цифр, використовуваних у цій позиційній системі, збігається з підставою системи.
1.5 Арифметичні операції в різних системах числення
Додавання і віднімання
В системі з основою для позначення нуля і перших?- 1 натуральних чисел служать цифри 0, 1, 2, ...,?- 1. Для виконання операції додавання і віднімання складається таблиця складання однозначних чисел.
Таблиця 1 - Додавання в двійковій системі
+ 012q - 10012 ********* q # 151; 11123 ********* 102234 ********* 11 ************************ q - 1q - 11011 ********* 1 (q - 2)
Наприклад, таблиця додавання в шестерічной системі числення:
Таблиця 2 - Додавання в шестерічной системі
+ 012345001234511234510223451011334510111244510111213551011121314
