Результат перетворення Фур'є - амплітудно-частотний спектр, за яким можна визначити присутність деякої частоти в досліджуваному сигналі. Фур'є-перетворення дають досить прості для розрахунків формули і прозору інтерпретацію результатів, але не позбавлені і деяких недоліків.
Перетворення:
· не відрізняють сигнал, що є сумою двох синусоїд, від ситуації послідовного включення синусоїд
· не дають інформації про переважне розподілі частот в часі
· можуть дати невірні результати для сигналів з ділянками різкої зміни.
Досліджувані ряди також далеко не завжди задовольняють вимозі періодичності і більше того, як правило, задані на обмеженому відрізку часу.
Таким чином, коли не встає питання про локалізацію тимчасового положення частот, метод Фур'є дає добрі результати, але при необхідності визначити часовий інтервал присутності частоти доводиться застосовувати інші методи.
Одним з таких методів є узагальнений метод Фур'є (локальне (віконне) перетворення Фур'є). Цей метод складається з наступних етапів:
1. в досліджуваної функції створюється вікно - часовий інтервал, для якого функція f (x) 0, і f (x)=0 для інших значень,
2. для цього вікна обчислюється перетворення Фур'є,
. «Вікно» зсувається, і для нього також обчислюється перетворення Фур'є
Пройшовши таким «вікном» уздовж всього сигналу, виходить деяка тривимірна функція, що залежить від положення «вікна» і частоти.
Але даний підхід дозволяє визначити факт присутності в сигналі будь-якої частоти, і інтервал її присутності. Це значно розширює можливості методу в порівнянні з класичним перетворенням Фур'є, але існують і певні недоліки. Згідно следствиям принципу невизначеності в даному випадку не можна стверджувати факт наявності частоти w 0 в сигналі в момент часу t 0 - можна лише, що спектр частот (w 1, w 2) присутня в інтервалі (t 1, t 2). Причому дозвіл по частоті (за часом) залишається постійним незалежно від області частот (часів), в яких виробляється дослідження. Тому, якщо, наприклад, в сигналі істотна лише високочастотна складова, то збільшити дозвіл можна тільки змінивши параметри методу.
У даній роботі такий метод ми називатимемо СВАН-перетворенням.
В якості методу, який не володіє подібного роду недоліками, був запропонований апарат вейвлет аналізу.
Основні положення вейвлет-перетворення
Альтернатива перетворенню Фур'є для дослідження тимчасових (просторових) рядів з вираженою неоднорідністю став метод, розроблений в 80-х роках під назвою вейвлет-аналіз.
Вейвлети (від англ. wavelet), сплески - це математичні функції, що дозволяють аналізує?? ть різні частотні компоненти даних.
Вейвлети - це сімейство функцій, які локальні в часі і по частоті («маленькі»), і в яких всі функції виходять з однієї допомогою її зрушень і розтягувань по осі часу (так що вони «йдуть один за одним »).
Всі вейвлет-перетворення розглядають функцію, взяту, будучи функцією від часу, в термінах коливань, локалізованих за часом і частоті.
Вейвлет-перетворення зазвичай ділять на дискретне вейвлет-перетворення (ДВП) і безперервне вейвлет-перетворення (НВП). ДВП зазвичай використовується для кодування сигналів, у той час як НВП для аналізу сигналів. В результаті, ДВП широко застосовується в інженерній справі та комп'ютерних науках, а НВП в наукових дослідженнях.
Вейвлет-перетворення, що володіє самоналагоджувальним рухомим частотно-часовим вікном, однаково добре виявляє як низькочастотні, так і високочастотні характеристики сигналу на різних часових масштабах. З цієї причини вейвлет-аналіз часто порівнюють з математичним мікроскопом raquo ;, розкриває внутрішню структуру істотно неоднорідних об'єктів. Сімейства аналізують функцій, які називаються вейвлетами, застосовуються при аналізі зображень різної природи, для вивчення структури турбулентних полів, для стиснення великих обсягів інформації, в задачах розпізнавання образів, при обробці і синтезі сигналів.
Зазвичай, функція-вейвлет позначається буквою?.
Подібно до того, як в основі апарату перетворень Фур'є лежить єдина функція, що породжує ортонормованій базис простору L? [0,2?] Шляхом масштабного перетворення, так і вейвлет-перетворення будується на основі єдиної базисної функції, що має солітоноподобний характер і належить простору L? (R), тобто всій числовій осі.
При конструюванні базисної аналізує функції повинні виконуватися наступні необхідні умови:
