"> · Локалізація - вейвлет повинен бути локалізована поблизу нуля аргументу як в часовому, так і в частотному просторі. Нульове середнє:.
· Вейвлет повинен бути знакозмінної функцією. Обмеженість:.
· Вейвлет повинен досить швидко витікати з тимчасової (просторової) змінної.
Найбільшою популярністю користуються вейвлети:
Безперервне вейвлет-перетворення (НВП) будується за допомогою безперервних масштабних перетворень і переносів вейвлета з довільними значеннями масштабного коефіцієнта a і параметра зсуву b:
, (1)
де - комплексно сполучена функція, b - момент часу, t-вісь часу, a - параметр, зворотний частоті.
Вейвлет-перетворення оборотно для функцій f з L 2 (R)
.
Отже, у нас є деяка функція f (t), що залежить від часу. Результатом її вейвлет-перетворення буде деяка функція W (a, b), яка залежить вже від двох змінних: від часу і від частоти (обернено пропорційно). Для кожної пари a і b рецепт обчислення вейвлет перетворення наступний:
1. Функція вейвлет розтягується в a раз по горизонталі і в 1/a раз по вертикалі.
2. Далі він зсувається в точку b. Отриманий вейвлет позначається.
. Виробляється усереднення в околиці точки a при допомоги.
Спектр вейвлет-перетворення одновимірного сигналу являє поверхню в тривимірному просторі. Зазвичай зображення спектра виконується шляхом проектування ліній постійного рівня поверхні на площину з змінними: параметрами зсуву (по осі абсцис) і масштабом (по осі ординат), з градієнтної заливкою відтінками сірого кольору між лініями.
У результаті «вимальовується» наочна картина, що ілюструє частотно-часові характеристики сигналу. По осі абсцис відкладається час, по осі ординат - частота (іноді log (T), де T=1/a - період). А абсолютне значення вейвлет перетворення для конкретної пари a і b визначає колір, яким даний результат буде відображений (чим більшою мірою та чи інша частота присутній в сигналі в конкретний момент часу, тим більш виражений буде відтінок). На малюнку 8 показаний приклад вейвлет-аналізу. Чітко видно, що протягом усього часу дії сигналу переважають дві частоти.
Рис.8. Приклад вейвлет-аналізу. Внизу - вихідний двочастотний сигнал, вгорі - вейвлет-аналіз, який показує присутність сигналів з частотою приблизно 0,8 і 3,5. По осі абсцис час, по осі ординат - частота
Таким чином, будь-яка функція з L? (R) може бути представлена ??суперпозицією масштабних перетворень і зрушень базисного (материнського) вейвлета з коефіцієнтами, залежними від масштабу (частоти) і параметра зсуву (часу).
двохпараметричній функція W (a, b) дає інформацію про зміну відносного внеску компонент різного масштабу в часі і називається спектром коефіцієнтів вейвлет-перетворення.
Вейвлети, використовувані в даній роботі:
Для роботи вибрали саме ці вейвлети, оскільки вейвлет Морле простий у використанні і досить чітко відображає результати, а DOG-вейвлет добре показує моменти перебудови сигналу, тобто перехід від одного домінуючого періоду в ряді до іншого.
Отримавши вейвлет-спектр, можна розрахувати повну енергію сигналу:
і глобальний спектр енергії - розподіл повної енергії за масштабами частоти (скейлограмму вейвлет-перетворення)
Скейлограмма відповідає спектру потужності Фур'є-перетворення сигналу, згладженому на кожному масштабі спектром Фур'є аналізує вейвлета:
,
де знак ^ позначає Фур'є-образ функції.
На практиці частіше доводиться мати справу з сигналами, задається не аналітичними функціями, а з дискретним набором даних, визначеному на кінцевому тимчасовому інтервалі. У цьому випадку приймається, що при, а формула (1) для коефіцієнтів вейвлет-перетворення модифікується наступним чином:
,
де
Дискретне вейвлет-перетворення
Базис одновимірного дискретного вейвлет-перетворення (ДВП) будується на основі материнського вейвлета допомогою операцій зрушень і розтягувань уздовж осі t. Вводячи аналог синусоїдальної частоти і, приймаючи для простоти в якості її значень ступеня двійки, отримуємо для функцій базису.
Базис нормований, якщо вейвлет має одиничну норму.
Вейвлет називається ортогональним, якщо сімейство являє ортонормованій базис функціональн...
