T n-го елемента через d і c, а відповідну їм глобальну нумерацію - значеннями p, k. Для локальних вузлів, що лежать на межі n1-го елемента через d1 і c1, а відповідну їм глобальну нумерацію - значеннями p1, k1.
У правих частинах по змінним d, d1 і c, c1 підсумовування не ведеться. Використовуємо глобальну нумерацію вузлів:
де матриці і розміру мають всі нульові елементи за винятком:
Введемо наступне позначення:
де підсумовування ведеться за k1 елементам, грані яких утворюють кордон FT.
Запишемо третій доданок лівої частини на n-ому елементі:
Використовуючи глобальну нумерацію вузлів:
За аналогією з матрицями і для третього доданка лівій частині вводимо матрицю і, для яких запишемо елементи, відмінні від нуля:
Під верхнім штрихом розуміємо першу похідну по змінній Визначається матрицю:
Для п'ятого доданка в лівій частині на n-ому елементі:
Використовуючи глобальну нумерацію вузлів:
Вводимо в розгляд матриці і, з наступними ненульовими компонентами:
і, відповідно, матрицю:
Для сьомого доданка лівій частині визначаємо матриці і, з ненульовими компонентами:
і матрицю:
Для другого, четвертого, шостого та восьмого доданків матимемо:
Другий доданок на n1-му елементі запишемо наступним чином:
Використовуємо глобальну нумерацію вузлів:
де матриці і розміру мають всі нульові елементи за винятком:
Введемо наступне позначення:
де підсумовування ведеться за k1 елементам, грані яких утворюють кордон.
Запишемо третій доданок лівої частини (3.2) на n1-му елементі:
Використовуючи глобальну нумерацію вузлів:
За аналогією з матрицями і для третього доданка лівій частині вводимо матрицю і, для яких запишемо елементи, відмінні від нуля:
де під верхнім штрихом розуміємо першу похідну по змінній.
Визначаємо матрицю:
Для п'ятого доданка в лівій частині на n1-му елементі:
Використовуючи глобальну нумерацію вузлів:
Вводимо в розгляд матриці і, з наступними ненульовими компонентами:
і, відповідно, матрицю:
Для сьомого доданка лівій частині визначаємо матриці і, з ненульовими компонентами:
і матрицю:
Для другого, четвертого, шостого та восьмого доданків матимемо:
Таким чином, матриця жорсткості для рівняння визначається у вигляді:
де.
Глобальна матриця жорсткості буде дорівнює:
Визначимо відповідні коефіцієнти:
3.2 Моделювання тріщини нормального відриву
У цьому випадку в точках і докладемо рівні за модулем і протилежні по напрямку сили. Точки і закріпимо від переміщень. Таким чином, для зразка на Рис.1.2 маємо наступні граничні умови:
для точки;
для точки;
для точки;
для точки;
вся інша поверхня тіла вільна від напружень.
У силу симетрії завдання досить розглянути половинку тіла 1. У цьому випадку мають місце такі умови для кордонів шару:
З урахуванням (3.35) і (3.36) з (1.8) в шарі. Отримуємо:
На рис. 3.1 наведені значення середніх напружень по довжині елемента шару взаємодії. Напруги на графіках віднесені до максимального дотичного напруження. Координата визначає відстань від вершини тріщини, графік 1 - напруга, графік 2 - напруга, графік 3 - напряжение. З наведеної залежності видно, що в околиці тріщини нормального відриву при плоскій деформації реалізується високий гідростатичний розтяг.
Рис. 3.1. Розподіл напружень в шарі в змозі плоскої деформації
Рис. 3.2. Форма пластичної зони.
На рис. 3.2 показаний елемент зразка, де дотичні напруження досягають максимального значення для плоского деформованого стану. У цій області згідно з критерієм Тріска - Сен-Венана починається розвиток пластичного деформування. Значення параметра сили, при якому утворюється зона пластичності Рис. 3.2 позначимо через, а значення максимального дотичного напруження через.
Рис. 3.3. Розподіл напружень в шарі в плоскому напруженому стані.
На рис. 3.3 наведені значення середніх напружень по довжині елемента шару взаємодії в кінцевий зоні тріщини для плоского напруженого стану. Напруги на графіках віднесені до макс...
