Курсова робота
Розрахунок напружень деформацій в изотропном тілі по заданому тензора напружень
В
1. Вихідні дані
В
1. Заданий наступний тензор напруг:
МПа.
2. Направляючі косинуси майданчики, по якій потрібно обчислити напруги, рівні:
.
1.1 Визначення інваріантів напруженого стану
Інваріантом називається величина, незалежна від системи координат. Зокрема, напружений стан у будь-якій точці є інваріантом, незважаючи на те, що складові тензора в різних системах координат, тобто напруги, діючі по координатних майданчикам, різні. Проте, є висловлювання, складені з напружень по координатним майданчикам, які залишаються постійними в будь-якій системі координат. Ці вираження і називаються інваріантами напруженого стану в точці або інваріантами тензора напруг.
(1)
1.2 Визначення головних напружень
Головними напруженнями називаються нормальні напруги, діючі по майданчиках, де відсутні дотичні напруження. Координатні осі, які є нормалями до таких майданчиків, називаються головними осями тензора напружень, а самі майданчики - головними майданчиками.
Головні напруги визначаються з кубічного рівняння:
(2)
Підставляючи чисельні значення інваріантів тензора напруг з (1), отримуємо:
В В
Кубічні рівняння загального вигляду можуть мати комплексні корені, рівняння для визначення головних напружень і головних деформацій завжди мають три дійсних кореня. Вирішувати їх можна по-різному. p> 1. Можна спочатку визначити підбором один з коренів рівняння, а потім розкласти ліву частину рівняння (2) на два множники: лінійний двочлен і квадратний тричлен. Після цього з рішення квадратного рівняння визначаються два залишилися кореня.
2. Існує і аналітичний спосіб рішення, для цього використовуються формули Кардано.
Скористаємося другим способом.
Нехай задано кубічне рівняння:
(3)
Після підстановки
(4)
отримаємо кубичной рівняння (наведене):
(5)
Тут і обчислюються за формулами:
(6)
Формули Кардано для випадку рівняння з трьома дійсними коренями мають вигляд:
(7)
(8)
Далі за допомогою підстановки (4) в (3) знаходимо коріння вихідного рівняння.
Вирішимо наше рівняння (2):
(9)
Підстановка (4) з новими позначеннями отримує вигляд:
. (10) br/>
Тут змінений знак другого доданка підстановки тому, що.
Підставляючи (10) в (9) одержимо рівняння аналогічне (5):
(11)
Тут коефіцієнти і обчислюються за формулами (6):
В
Далі за формулами (7) знаходимо:
В
За формулами (8) знаходимо корені рівняння (5):
В
Враховуючи (10), знаходимо коріння вихідного рівняння (9), які є головними напруженнями:
(12)
Відповідно до правила індексації головних напруг введені позначення: - алгебраїчно максимальна напруга; - алгебраїчно середнє (Мінімаксне) напруга; - алгебраїчно мінімальна напруга.
Величини та обчислювалися з точністю до третього знака після коми для того, щоб надалі при вирішенні систем рівнянь, у яких від залежать величини коефіцієнтів, уникнути можливих великих похибок, якщо зустрінуться малі різниці великих величин.
Тензор напружень в головних осях має вигляд:
.
1.3 Визначення положення головних осей тензора напружень
Положення головних осей тензора напружень визначається матрицею напрямних косинусів:
(13)
Тут перший рядок матриці представляє напрямні косинуси головної осі, по якій діє напруга; другий рядок - напрямні косинуси головної осі, по якій діє напруга; третій рядок - напрямні косинуси головної осі, по якій діє напруга. Всі направляючі косинуси задаються у вихідній (старої) системі координат, показаної на рис. 1
Напрямні косинуси головних осей знаходяться з системи рівнянь:
(14)
за умови
(15)
Тут - напрямні косинуси головної осі тензора напружень, вздовж якої діє напруга.
У теорії пружності (1) доводиться, що визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих () системи рівнянь (13), дорівнює нулю. Отже, три рівняння в (13) є лінійно залежні: одне рівняння (будь-яке) є наслідком двох інших. Тому для визначення напрямних косинусів будь головної осі потрібно одне з рівнянь видалити (будь-яке) і до двох залишилися додати рівняння (14). Вирішивши отриману систему трьох рівнянь з трьома невідомими, знайдемо напрямні косинуси, відповідають головному напрузі. Положення залишилися двох осей знаходять аналогічно.
Потрібно мати на увазі, що кожен з направляючих косинусів виходить з двома знаками. Знаки відповід...
