ого, щоб периметр був найменшим (рівним відрізку A2A3), потрібно, щоб вершини B1 і C1 лежали в точках перетину відрізка A2A3 зі сторонами трикутника AB і AC. Залишилося зрозуміти, як вибрати точку A1 на стороні BC таким чином, щоб довжина відрізка A2A3 була найменшою. Для цього зауважимо, що трикутник A2AA3 - рівнобедрений (A3A=A2A=A1A), а кут при його вершині A дорівнює 2? BAC і тому не залежить від вибору точки A1.
Отже, при русі точки A1 по стороні BC кути трикутника A2AA3 не міняються. А його лінійні розміри будуть найменшими, коли найменшою буде сторона A2A, яка дорівнює A1A. Значить, A1A - висота, опущена на сторону BC.
Малюнок 14
Ми бачимо, що існує єдиний вписаний трикутник найменшого периметра, його вершина A1 - основа висоти. Якщо провести ті ж міркування c вершинами B1 і C1, отримаємо, що вони також є підставами висот (оскільки трикутник мінімального периметра - єдиний).
Теорема Фаньяно. Серед усіх трикутників, вписаних в даний гострокутний трикутник, найменший периметр має Ортотреугольник (т. Е. Трикутник з вершинами в підставах висот).
. 3 Завдання Дідони
Стільки купили землі і дали їй ім'я Бірса, Скільки змогли оточити бичачої шкурою.
Вергілій. Енеїда
Найпрекраснішим тілом є куля, а найгарнішою плоскою фігурою - коло.
Піфагор
Дідона - стародавня фінікійська, дочка тирського царя, бігла з дому, рятуючись від переслідувань свого брата, вирушила на захід уздовж берегів Середземного моря шукати собі притулок. Їй сподобалося одне місце на узбережжі нинішнього Туніської затоки. Дідона повела переговори з місцевим ватажком Ярбом про продаж землі. Запросила вона зовсім небагато - стільки, скільки можна «оточити бичачої шкурою». Дидоне вдалося вмовити Ярбай. Угода відбулася, і тоді Дідона порізала шкуру бика на дрібні тасьми, зв'язала їх воєдино і оточила велику територію, на якій заснувала фортеця, а поблизу від неї - місто Карфаген.
Цей епізод дає привід замислитися над питанням: скільки ж землі можна оточити бичачої шкурою? Для того щоб відповісти на це питання, потрібно правильно математично поставити завдання: серед замкнутих плоских кривих, що мають задану довжину, знайти криву, що охоплює максимальну площу.
Основні шляхи вирішення завдання Дідони або, як її називають по - іншому, класичної изопериметрической завданням були намічені ще в часи античності. Суворе доказове оформлення цих ідей було зроблено математиками набагато пізніше. Актершев призводить схему докази Я. Штейнера.
Теорема: З усіх изопериметрических замкнутих плоских кривих окружність є екстремальною.
Лемма 1: Екстремальна крива опукла.
Малюнок 15
Доказ: Якщо крива не опуклі, то на ній знайдуться дві точки А і А1 такі, що обидві дуги АВА1 і АВ1А1, що з'єднують точки А і А1, лежать по одну сторону від прямої АА1 (рис. 15 ). Замінивши одну з дуг її дзеркальним відображенням відносно прямої АА1, ми одержимо криву тієї ж довжини, але більшої площі.
Лемма 2: Якщо точки А і В ділять довжину екстремальної кривої навпіл, то хорда АВ ділить площу фігури навпіл.
Доказ: Якщо хорда АВ ділить площу на дві нерівні частини, то більшу частину можна дзеркально відобразити відносно прямої АВ і, взявши велику частину разом з її дзеркальним відображенням, отримати нову фігуру з тим же периметром, але більшою площі.
Лемма 3: Нехай точки А і В ділять довжину екстремальної кривої навпіл, і точка С будь-яка точка кривої. Тоді кут АВС - прямий.
Доказ: Припустимо, що кут АВС не є прямим. Площа, обмежена дугою АСВ і хордою АВ, розбита на три частини: трикутник АСВ і два сегменти, прилеглі до хордам АС і СВ. Уявімо, що сегменти жорсткі, а в точці С знаходиться шарнір, що з'єднує два сегменти. Повернемо хорду СА разом з прилеглим до неї сегментом навколо шарніра так, щоб кут між хордами став прямим. Точка А перейде в точку А1, при цьому довжина дуги АВС і площі сегментів не зміняться (рис. 10). Площа трикутника ВСА1 більше, ніж площа трикутника ВСА, т. К. З усіх трикутників із заданими довжинами двох сторін максимальну площу має прямокутний трикутник. Тепер відобразимо отриману фігуру щодо А1В. В результаті отримуємо фігуру з тим же периметром, але більшою площею.
Малюнок 16
. 4 Завдання Ферма - Торрічеллі - Штейнера
Історія цього завдання налічує більше трьох з половиною століть. Вона була поміщена в книзі італійського фізика і м?? Ханіка Вівіані «Про максимальних і мінімальни...
