х значеннях» в 1659 році. Вінченті Вівіані (1622-1703) відомий як один з кращих фахівців з завданням на максимум і мінімум, а також з теорії конічних перетинів. Своє твір Вівіані, слідуючи традиціям того часу, забезпечив довгою назвою: «П'ята книга творів Аполлонія Пергського про конічні перетини, містить в собі перші дослідження про найбільших і найменших величинах і зізнається самим чудовим пам'ятником цього великого геометра».
Серед безлічі завдань на максимум і мінімум, поміщених в цій книзі, є така: на площині дано три крапки A, B, C, не лежать на одній
прямій. Для якої точки T площині сума відстаней AT + BT + CT найменша?
Ще до книги Вівіані цим завданням цікавився італійський математик Бенавентура Кавальєрі (1598-1647), автор знаменитого «принципу Кавальєрі» для обчислення площ і об'ємів, що передбачив інтегральне числення, а також математик і фізик Еванджеліста Торрічеллі (1608-1647). Згідно з іншими джерелами, незалежно від Торрічеллі, цю задачу вирішив і найбільший французький математик П'єр Ферма (1601-1665). А перше чисто геометричне рішення належить, по - видимому, швейцарському геометру Якобу Штейнеру (1796-1863).
Рішення: вибудуємо відрізки AT, BT і CT в ламану лінію. Тепер, однак, замість симетрії застосуємо поворот. Повернемо площину на 60 навколо точки A, при цьому точка C перейде в деяку точку D, а точка T - в точку N. Трикутник AND дорівнює трикутнику ATC, оскільки переходить у нього при повороті на 60, значить TC=ND. Трикутник ANT - рівносторонній, так як AT=AN і? TAN=60 ?, тому TA=TN. Отже, сума AT + BT + CT дорівнює довжині ламаної BTND, а значить, вона не менше довжини відрізка BD.
Малюнок 17
Повернемо площину на 60 навколо точки A, при цьому точка C перейде в деяку точку D, а точка T - в точку N.
Малюнок 18
Трикутник AND дорівнює трикутнику ATC, оскільки переходить у нього при повороті на 60, значить TC=ND. Трикутник ANT - рівносторонній, так як AT=AN і? TAN=60, тому TA=TN. Отже, сума AT + BT + CT дорівнює довжині ламаної BTND, а значить, вона не менше довжини відрізка BD. Рівність досягається, коли точки B, T, N і D лежать на одній прямій (у зазначеній послідовності). Це означає, що ? BTA +? ATN=180 і, отже,? BTA=120; а також ? AND +? ANT=180, значить,? AND=120, тому
? ATC=120. Таким чином, промені TA, TB і TC утворюють два кути в 120, тому і третій кут між ними також дорівнює 120 (рис. 18).
Отже, сума AT + BT + CT дорівнює довжині ламаної BTND, а значить, вона не менше довжини відрізка BD (рис. 17). Рівність досягається, коли точки B, T, N і D лежать на одній прямій (у зазначеній послідовності). Це означає, що ? BTA +? ATN=180 і, отже,? BTA=120; а також ? AND +? ANT=180, значить,? AND=120, тому? ATC=120. Таким чином, промені TA, TB і TC утворюють два кути в 120, тому і третій кут між ними також дорівнює 120.
Точка T, з якої всі сторони трикутника видно під кутами 120, має кілька назв. Іноді її називають точкою Ферма, іноді - точкою Торрічеллі, іноді - точкою Штейнера. Доказ, що було наведено, з поворотом площини на 60, належить Якобу Штейнеру.
А першим за часом з цих трьох математиків був Торрічеллі. Тому будемо називати цю точку, по праву першості, точкою Торрічеллі, центрами вписаного і описаного кіл. Правда точка Торрічеллі існує не у будь-якого трикутника. Проте вже доведено, що якщо у трикутника є точка Торрічеллі, то вона є єдиною точкою мінімуму суми відстаней до вершин трикутника.
Коли ж точка Торрічеллі існує? Нехай з трьох кутів трикутника кут при вершині A є найбільшим. Побудуємо на сторонах AC і AB всередину трикутника ABC дуги кіл, що містять по 120. Ці дуги перетинаються в точці A. Якщо ж кут A менше 120, то ці дуги мають ще і другу точку перетину, яку позначимо через T. Це і є точка Торрічеллі. Справді, оскільки кути ATC і ATB з побудови рівні 120, то й третій кут BTC також виходить дорівнює 360? 120 2=120. І навпаки, якщо точка Торрічеллі існує, то вона будується саме таким чином, оскільки повинна лежати на перетині дуг кіл величиною в 120, побудованих на сторонах трикутника. Отже, трикутник має точку Торрічеллі тоді і тільки тоді, коли всі його кути менше 120.
Теорема Торрічеллі-Ферма-Штейнера. Якщо всі кути трикутника менше 120, то точкою мінімуму суми відстаней до його вершин є точка Торрічеллі. Якщо ж один з кутів більше або дорівнює 120, то такою точкою є вершина цього кута.
Висновок
Курсова робота включає в себе дві основні глави. У першій її частині ми постаралися розкрити значення настільки необхідної в наш час науки в галузі математики, як екстремум, роз...
