) при зазначених початкових граничних умовах описує пов'язану нелінійну задачу термопружності.
При <
(1.2.9)
Доведено, що для області V, вільної від об'ємних сил і джерел тепла, рішення системи рівнянь (1.2.1), (1.2.2), (1.2.3), (1.2.5) при початкових і граничних умовах, заданих через переміщення і температуру, є єдиним. Це доказ можна узагальнити і на інші механічні та теплові впливи й граничні умови.
Складемо для цього завдання рівняння руху в переміщеннях. Висловлюючи в рівняннях (1.2.1) напруги через деформації за формулою (1.2.2) і враховуючи, що члени, що містять ОµRR і T, зберігаються тільки при i - j, отримуємо
. (1.2.10)
У цьому рівнянні деформації замінюємо переміщеннями. Замінюючи j німим індексом R і враховуючи, що, знаходимо
(1.2.11)
Рівняння (1.2.11) спільно з рівнянням (1.2.9) за певних початкових і граничних умовах описують зміна в просторі й у часі поля деформації і температурного поля. Уявімо ці рівняння у векторній формі:
grad div grad (1.2.12)
div (1.2.13)
де коефіцієнт температуропровідності.
1.3 Види завдань: пов'язана і незв'язана
ТЕРМОПРУЖНОСТІ деформація тіла, що виникає від нестаціонарних механічних і теплових впливів, супроводжується зворотним ефектом - зміною його температурного поля. Завдання термопружності, в якій враховується зазначений ефект, називається пов'язаної динамічної завданням термопружності, або пов'язаної завданням термопружності.
Ефекти пов'язаності. Закони термодинаміки свідчать, що зміна деформацій пружного тіла супроводжується зміною його температури, при якому виникає теплопоток, що обумовлює збільшення ентропії термодинамічної системи і, отже, термопружний розсіювання енергії.
У металевих тілах ефект пов'язаності поля деформації і температурного поля зазвичай мало впливає на термічне обурення і розподіл теплових напруг. Але це не означає, що подібне положення збережеться і для нових матеріалів, що володіють великим параметром пов'язаності.
При обліку ефекту пов'язаності встановлюються нові якісні особливості поширення пружних хвиль, які під впливом теплових ефектів поширюються з загасанням і дисперсією. Зокрема, істотно розрізняються рішення динамічної задачі термопружності про тепловому ударі на поверхні півпростору без урахування зв'язку полів деформації і температури і рішення з урахуванням цієї зв'язку; у випадку В«незв'язаногоВ» рішення розрив напруги О±х залишається незмінним, тоді як при В«пов'язаномуВ» він з плином часу швидко зменшується.
У роботі, пов'язана задача термопружності розглядається при малому термічному обуренні, тобто при <<1
У цьому випадку пов'язана завдання стає лінійної і при формулюванні її в переміщеннях зводиться до розв'язання системи рівнянь (1.2.12) і (1.2.13). Представлення спільних рішень цієї системи узагальнюють представлення спільних рішень рівняння (1.3.30), що описує динамічну задачу термопружності. Відомі подання рішення рівнянь класичної теорії пружності Б. Г. Гальоркіна і П. Ф. Папковича узагальнюються на випадок зв'язаної задачі термопружності. Застосування прямих методів для вирішення пов'язаних завдань термопружності в загальному випадку зустрічає великі математичні труднощі; перспективної є розробка наближених методів вирішення пов'язаних задач термопружності на основі варіаційних принципів, аналогічних таким для статичних і квазістатичних задач термопружності.
Уявлення загального рішення. Пов'язана завдання термопружності при малому термічному обуренні описується системою рівнянь (1.2.12) і (1.2.13) при початкових і граничних умовах.
При об'ємної силі
= grad П + rot (1.3.1)
відомо наступне подання спільного рішення рівнянь (1.2.12) і (1.2.13):
і = grad + rot (1.3.2)
в–Ў,
в якому скалярна Ф і векторна функції задовольняють рівнянням
в–Ў в–Ў; (1.3.3)
в–Ў (1.3.4) де
в–Ў = в–Ў = (N = 1,2); (1.3.5)
Оµ - параметр пов'язаності, що має значення;
С1 і С2 - швидкість поширення пружною хвилі відповідно розширення і спотворення (див. вирази (1.3.6)). При Оµ = 0 і П = 0 рівняння (1.3.3) на підставі рівняння (1.3.31) перетворюється на (1.3.7)
, (1.3.6)
в–Ў (1.3.7)
а при = 0 рівняння (1.3.4) переходить в рівняння (1.3.8) динамічної задачі термопружності.
в–Ў (1.3.8)
Знайдено також узагальнення відомого подання рішення ...
