рівнянь класичної теорії пружності Б. Г. Гальоркіна [52] (на випадок пов'язаної задачі термопружності):
= grad + в–Ў - grad div (1.3.9)
в–Ў
де функція і задовольняють рівнянням
в–Ў в–Ў в–Ў div (1.3.10)
в–Ў в–Ў (1.3.11)
Як і в динамічній задачі термопружності, уявлення (1.3.9) за відсутності об'ємних сил можна перетворити до поданням (1.3.2). Дійсно, якщо в уявлення (1.3.9) і рівняння (1.3.10) внести вираження
,
div (1.3.12)
в яких - приватне рішення неоднорідного рівняння (1.3.11), і - рішення рівнянь
в–Ў, в–Ў (1.3.13)
Ф'-нова скалярна функція, то форма їх не зміниться, але замість Ф і в поданні (1.3.9) виникають Ф 'і, а в рівнянні (1.3.10) Ф' і. На підставі другого рівняння (1.3.13) і тотожності
grad div = + rot rot
при підстановці - rot таке подання при = 0, П = 0, X = 0 (відсутність об'ємних сил) переходить в уявлення (1.3.2).
Вводячи в уявлення (1.3.9) і в рівняння (1.3.10) і (1.3.11) нові функції
div, в–Ў (1.3.14)
де r - радіус-вектор, отримуємо узагальнення відомого подання П. Ф Папковича на випадок зв'язаної задачі термопружності (1.3.14)
grad grad; (1.3.15)
в–Ў,
в якому функція Ф,, В0 задовольняють рівнянням
в–Ў в–Ў в–Ў (1.3.16)
в–Ў, в–Ў (1.3.17)
У разі поширення безвихорової хвилі (хвилі розширення) і відсутності об'ємних сил і джерел тепла подання (1.3.2) має вигляд
grad, в–Ў, (1.3.18)
де функція задовольняє рівнянню
(в–Ў в–Ў) = 0 (1.3.19)
Рішення для функції Ф ищют у вигляді
= П† (x, y, z) e (1.3.20)
де р - комплексна постійна. Підставляючи це рішення в (1.3.19), для П† отримують рівняння
= 0. (1.3.21)
яке може бути представлене у вигляді
, (1.3.22) (9.3.19)
Де
; (1.3.23)
В
Якщо припустити, що ТЕРМОПРУЖНОСТІ зв'язок відсутній (Оµ = 0), то з рівняння (1.3.23) отримують
;. (1.3.24)
Отже, рівняння (1.3.23) описує поширення двох видів хвиль розширення, з яких один, пов'язаний з, близький до чисто пружної хвилі, а інший, пов'язаний с, подібний за своїм характером з чисто теплової хвилею.
На підставі рівнянь (1.3.20) і (1.3.21) загальне рішення рівняння (1.3.19) можна представити у вигляді
(1.3.25)
де задовольняє рівняння
j = 1,2. (1.3.26)
Таким чином, у розглянутому випадку спільне рішення пов'язаної ТЕРМОПРУЖНОСТІ завдання на підставі подання (1.3.18) і рішення (1.3.25) приймає вигляд
grad (1.3.27)
(1.3.28)
Враховуючи, що
div
і беручи до уваги формулу (1.328), отримуємо на підставі співвідношення (1.2.2) такі вирази для напруг:
(1.3.29)
- символ Кронекера;
ПЃ - щільність середовища, у якій поширюється хвиля (1.3.26)
Задача термопружності, описувана двома рівняннями:
grad div grad (Т - Т0) - 0, (1.3.30)
(1.3.31)
називається незв'язаної динамічної завданням термопружності, або просто динамічної завданням термопружності.
При істотному збільшенні температури Т-Т0 коефіцієнти в співвідношеннях (1.2.2) є функціями Т, а отже, і функціями координат ХR і часу t. Пам'ятаючи про це і виконуючи перетворення, аналогічні проведеним у п. 1.3, знаходимо для такий завдання наступні рівняння руху в переміщеннях:
В
. (1.3.32)
Замість цих трьох скалярних рівнянь можна записати одне векторне у вигляді
grad div + 2 grad Ој В· ПОµ grad О» div-
(1.3.33)
де grad Ој В· ПОµ - скалярний твір тензора деформації ПОµ на вектор grad Ој.
Якщо врахувати залежність від температури, то рівняння тепло провідності стає нелінійним.
2 Модель термопружних середовища
2.1 Поняття моделі суцільного середовища: прості і складні
Диференціальні рівняння і співвідношення, що виражають закони збереження маси, імпульсу, енергії і другий закон термодинаміки потрібні для загального випадку незалежно від того, якими конкретними фізико-механічними властивостями володіє деформируемая середу, і в силу цього мають універсальний характер, тобто справедливі для будь-яких середовищ. Однак при спробі математичного опису руху якої конкретної деформируемой середовища (газоподібної, рідкої або твердої) досить легко встановити, що наявних у розпорядженні універсальних диференціальних рівнянь і співвідношень мало для складання замкнутої системи рівнянь, яка могла б пос...
