основна система рівнянь (1.1.16), (1.1.14) і (1.1.15) прийме вигляд
(1.1.19)
, (1.1.20)
(1.1.21)
Підставивши в рівняння (1.1.19) модуль Юнга Е і коефіцієнт Пуассона П…, отримаємо наступне рівняння:
(1.1.22)
Для пружного тіла, вільного від масових сил, вважаючи Fi = 0 і використовуючи формулу
В
знайдемо, підставляючи співвідношення (1.1.22) у рівняння (1.1.21):
(1.1.23)
Для того щоб вирішити це рівняння, Гудьер вводить ТЕРМОПРУЖНОСТІ потенціал П†, за допомогою якого вектор переміщення u1, u2, і3 визначається у вигляді
(1.1.24)
Підставляючи вираз (1.1.24) у рівняння (1.1.23), отримуємо умова, що накладається на П†:
В
Таким чином, якщо вибрати П† так, що
, (1.1.25)
де
В
то вектор переміщення, що визначається рівнянням (1.1.24), є рішенням рівнянь, що описують сталий процес термоупругості.Уравненіе (1.1.25) в точності відповідає рівнянню Пуассона і добре відомо, що приватний інтеграл цього рівняння має вигляд
(1.1.26)
де інтегрування поширюється на все тіло.
Напружений і деформований стану, що подаються приватним інтегралом (1.1.26), вимагають не тільки заданого розподілу температури, але також і певних поверхневих навантажень, які можуть бути обчислені допомогою виразу (1.1.22) і умови рівноваги на кордоні. Для повного виконання завдання потрібно лише визначити розподіл додаткових Напруженість, обумовлених рівними і прямо протилежними навантаженнями на кордоні, що представляє собою завдання теорії пружності при заданих навантаженнях на кордоні. Той факт, що тіло підігрітий, не грає ролі доти, поки пружні постійні залишаються незмінними. Інтеграли типу (1.1.26) були використані Борхардтом при загальному аналізі теорії термопружності і при вирішенні деяких приватних завдань в випадку несиметричних розподілів температури в тілі з сферичними або циліндричними кордонами. Розподіл напружень, обумовлене спеціальним розподілом температури в нескінченному і напівнескінченної тілах, обговорювалося різними авторами. Є дуже мало точних рішень навіть цих рівнянь, описують сталий стан, а ті, які є, належать до сфер і циліндрах, проте в розділі 14 книги Тимошенко і Гудієра В«Theory of ElasticityВ» (New York, 1951) розглядається кілька наближених рішень інженерних завдань, що стосуються термічних напружень в пластинах і стрижнях
1.2 Побудова задачі термопружності
Загалом випадку постановка задачі термопружності полягає в наступному. Необхідно при заданих механічних і теплових впливах визначити 16 функцій координат ХR і часу t, шість компонентів тензора напруги шість компонентів тензора деформації Оµ - три компоненти вектора переміщення і температуру Т, задовольняють: трьом рівнянням руху (1.2.1); шести співвідношенням між напруженнями і деформаціями (1.2.2) або (1.2.3), шести співвідношенням між деформаціями і переміщеннями (1.2.4); рівнянню теплопровідності (1.2.5), за певних початкових і граничних умовах.
(1.2.1)
ПЃ - щільність,
- сили інерції.
(1.2.2)
де О» і Ој - Коефіцієнти Ляме при ізотермічної деформації. br/>
(1.2.3)
Е - ізотермічний модуль пружності;
- коефіцієнт Пуассона.
(1.2.4)
де - вектор переміщення.
(1.2.5)
S - щільність енергії;
- коефіцієнт теплопровідності;
- питома потужність (кількість тепла, виробленого за одиницю часу в одиницю об'єму) джерел тепла.
Початкові умови звичайно задаються у вигляді розподілів компонентів вектора переміщення, їх швидкостей і температури Т у всій області V пружного тіла:
,, при t = 0. (1.2.6)
Тут і далі позначення gi (xR), hi (xR), f (xR) означають функції всіх координат ХR (R - 1, 2, 3) у розглянутій області.
Граничні умови на поверхні О© пружного тіла, обмежує його об'єм V, складаються з механічних і теплових умов.
Механічні граничні умови задаються або в переміщеннях
при t> 0, (1.2.7)
або в напружених
при t> 0, ( 1.2.8)
- компоненти вектора поверхневої сили;
Пj - Компоненти одиничного вектора зовнішньої нормалі до поверхні О©. p> В якості теплового граничного умови застосовується одне з граничних умов теорії теплопровідності. Механічні і теплові граничні умови можуть бути також змішаними. На одній частині поверхні механічні граничні умови можуть бути задані в переміщеннях (1.2.7), а на іншій - у напружених (1.2.8). Теплове граничне умова на одній частині поверхні тіла задається, наприклад, температурою, а на іншій - законом конвективного теплообміну з навколишнім середовищем.
Система рівнянь (1.2.1), (1.2.2) або (1.2.3), (1.2.4) і (1.2.5...
