т"). Подібна ж градація існує і для топологічних структур.
За межами цього первісного ядра з'являються структури, які можна було б назвати складними структурами і в які входять одночасно одна або кілька породжують структур, але не просто суміщені один з одним, а органічно скомбіновані за допомогою однієї або декількох зв'язують їх аксіом. Саме такий характер носить топологічна алгебра, що вивчає структури, що визначаються одним або кількома законами композицій і однієї топологією, які пов'язані тим умовою, що алгебраїчні операції є безперервними функціями (для розглянутої топології) елементів, над якими вони виробляються.
Нарешті, далі починаються власне приватні теорії, в яких елементи розглянутих множин, які до цього моменту в загальних структурах були зовсім невизначеними, отримують більш визначену індивідуальність. Саме таким чином отримують теорії класичної математики: аналіз функцій дійсної та комплексної змінної, диференціальну геометрію, алгебраїчну геометрію, теорію чисел. Але вони втрачають свою колишню автономність і є тепер перехрестями, на яких стикаються і взаємодіють численні математичні структури, що мають більш загальний характер.
Структури є знаряддя математика: кожен раз, коли він зауважує, що між досліджуваними їм елементами мають місце відносини, задовольняють аксіомам структури певного типу, він відразу може скористатися всім арсеналом загальних теорем, що відносяться до структур цього типу, тоді як раніше він повинен був би болісно трудитися, виковуючи сам кошти, необхідні для того, щоб штурмувати розглянуту проблему, причому їх потужність залежала б від його особистого таланту і вони були б зморені часто надмірно сором'язливими припущеннями, зумовленими особливостями досліджуваної проблеми.
5. Функції та графіки
В
Функція являє собою одне з основних математичних понять 20 століття, коли функціонального аналізу стала належати в математиці видатна роль. Але так було не завжди: після введення в математику поняття функції знадобилося більше двох сторіч, щоб було усвідомлено його дійсне значення для розвитку математичного пізнання.
Термін "функція" вперше був застосований в Наприкінці 17 століття Лейбніцем і його учнями. Спочатку цей термін вживали ще в дуже вузькому сенсі слова, пов'язуючи лише з геометричними образами. Йшлося про відрізках дотичних до кривих, їх проекція на осі координат і про "іншого роду лініях, які виконують для даної фігури деяку функцію "(від латинського "функтус" - виконувати). Таким чином, поняття функції ще не було звільнено від геометричної форми.
Лише І. Бернуллі дав визначення функції, вільний від геометричного мови: "Функцією змінної величини називається кількість, утворене яким завгодно способом з цієї змінної величини і постійних ".
Щоб визначення функції, дане І. Бернуллі, стало повноцінним, треба було домовитися, які способи завдання функцій слід вважати допустимими. Зазвичай вважали, що допускаються функції, задані виразами, в які входять числа, букви, знаки арифметичних дій, зведення в ступінь і вилучення коренів, а також позначення тригонометричних, зворотних тригонометричних, показових і логарифмічних функцій. Такі функції називали елементарними. Незабаром з'ясувалося, що інтеграли від них не завжди виражаються через елементарні функції. У зв'язку з цим довелося додати нові функції, що виходять при обчисленні інтегралів від елементарних функцій, при вирішенні диференціальних рівнянь і т.д. Багато з цих функцій не можна було явно виразити за допомогою раніше відомих операцій. Тому один із самих чудових математиків 18 століття Леонард Ейлер пише: "Коли деякі кількості залежать від інших таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, то перші називають функціями других ".
У 1834 році Н.І. Лобачевський писав: "Загальне поняття функції вимагає, щоб функцією від х називати число, яке дається для кожного х і разом з х поступово змінюється. Значення функції може бути дано або аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб випробовувати всі числа і вибрати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати і залишатися невідомою ".
Більш загальний підхід до поняття функції, при якому ототожнюються поняття "функція", "відображення", "оператор", виник після того, як у другій половині 19 століття було запроваджено загальне поняття множини. І саме творці теорії множин Г. Кантор і Р. Дедекінд дали загальне визначення відображення:
" Нехай X і Y - дві множини; кажуть, що поставлено відображення f безлічі X в (на) безліч Y, якщо для кожного елемента x з X вказаний відповідний йому єдиний елемент y з Y. Цей елемент y називають чином елемента х при відображенні f і позначають f ( x) ".
Введення ...
