яганням батька в 1834 році Вейерштрасс вступає до Боннського університету для отримання юридичної освіти. Але юридичні науки його не захоплювали, більшу частину часу він приділяв заняттям математикою. Через 4 роки Вейерштрасс кидає університет, що не здавши жодного іспиту. У 1839 році вступає до Мюнстерського академію, а в 1841 році блискуче здає випускну роботу. Після закінчення університету працює учителем у провінційних містах Німеччини. У 1845 публікує статтю по Абелеві функціям, за яку отримує докторську ступінь від Кенігсберзького університету. У 1861 обирається членом Баварської академії наук. З 1856 по 1889 читає лекції в Берлінському Унивеситет. Помер Вейрштрасс в 1897 році. p> Математичне творчість відрізняється прагненням до ясності і строгості. Як пише про нього Пуанкаре [5]: В«Вейерштрасс відмовляється користуватися інтуїцією або по крайней міру залишає їй тільки ту частину, яку не може у неї відняти В»Роботи Вейерштраса охоплюють широке коло проблем: абелеві і еліптичні функції, комплексні величини, теорія рядів і багато інших.
Вейерштрасс зіграв головну роль у арифметизации математичного аналізу. Він прагнув до того, щоб всі поняття математики перевести в буквено-числові. Він пішов від будь-яких інтуїтивних і геометричних уявлень поняття функції. Щоб піти від туманних формулювань на кшталт В«Необмежена наближення однієї величини до іншоїВ», була створена мова, який дозволяв тепер розглядати функції як числові відповідності між множинами, безперервність яких можна встановити за допомогою арифметичних нерівностей. Вейерштрасс спростував деякі інтуїтивні уявлення про функції, наприклад, він побудував безперервну функцію не має похідної ні в одній точці.
Вейерштрасс дотримувався точки зору, що суворість аналізу залежить від арифметики. Тому він починає працювати над впорядкуванням дістався від греків математичного спадщини несумірних. Він відокремлює поняття числа від поняття величини.
Приблизно в 1863 році Карл Вейерштрасс створює теорію дійсних чисел, яка дозволяє логічні нестиковки арифметики. На жаль, він не видавав її, а виклав на лекції своїм учням. Вейерштрасс дав свою побудову в термінах точних частин одиниці, але тут воно розглянуто в сучасному трактуванні.
Покладемо що у нас є раціональні числа. Візьмемо безліч раціональних таке, що його сума будь-якого кінцевого числа елементів не перевершує заданих кордонів. Якщо ми будемо тепер складати з цих чисел суму, то якщо сума буде кінцевою. Таким чином, кінцева сума цих чисел буде представляти раціональне число, ми можемо зіставити будь-якому раціональному числу деякий кінцевий набір з деякого безлічі. З ірраціональним числом цей набір буде нескінченним. Далі, візьмемо два нескінченних набору. Будемо вважати що раціональні числа представлені нескоротного дробу. Розглянемо набір чисел натуральних чисел. Якщо для сума дробів виду з першої множини збігається з сумою таких же дробів з другої множини, то ірраціональні числа збігаються один з одним. Розглянемо перший номер для якого це рівність не виконується. Якщо для має місце рівність, де суми складені за такими раціональним числах, які мають вигляд, то перше число більше другого. Якщо мається зворотне нерівність, то друге число більше першого. Додавання чисел визначається операцією об'єднання множин. Віднімання визначається як операція зворотна додаванню. Складання агрегату виду, де множення складається по всіляких елементам, визначає множення.
Таким чином, Вейерштрасс побудував дійсне число. Варто відзначити, що він не прирівнює число до ряду, тим самим уникає логічної помилки своїх попередників. З цієї побудови видно, що воно визначає взаімооднозначном відповідність: з одного боку з раціонального чисел можна побудувати речовій число, з іншого кожне речовій число можна визначити деяким побудовою з дійсних чисел. Крім того, воно використовує актуально нескінченні множини.
Варто ще раз підкреслити, що Вейерштрасс у своєму визначенні дійсного числа виходить тільки з арифметики, не зв'язуючи їх з точками на прямій.
Побудова дійсних чисел дозволило перейти від механічного, геометричного поняття межі до теоретико-множинного. Також за допомогою строго визначення поняття числа Вейерштрасс розвинув теорію аналітичних функцій. Також в роботах Вейерштраса зустрічається прообраз того, що ми називаємо потужністю множин. br/>
4.2В Георг Кантор
Народився 3 березня 1845 в Санкт-Петербурзі і ріс там до 11-річного віку. Батько сімейства був членом Петербурзької фондової біржі. Коли він захворів, сім'я, розраховуючи на більш м'який клімат, в 1856 році переїхала до Німеччини: спочатку в Вісбаден, а потім у Франкфурт. У 1860 році Георг закінчив з відзнакою реальне училище в Дармштадті; вчителя відзначали його виняткові здібності до математиці, зокрема, до тригонометрії. Продовжив він освіту в Федеральному політехнічний інституті в Цюріху. Через рік, після смерті батька, ...
