Георг отримав спадок і перевівся в Берлінський університет. Там він відвідує відвідує лекції Кронекера, Вейєрштрасса, Куммера. Літо 1866 Кантор провів в університеті Геттінгена, важливому центрі математичної думки. У 1967 році в Берліні отримав ступінь доктора за роботу з теорії чисел В«De aequationibus secundi gradus indeterminatis В».
Після нетривалої роботи викладачем в Берлінській школі для дівчаток, Кантор займає місце в Галльському університеті Мартіна Лютера, де і пройде вся його кар'єра. У 1872 році він стає ад'юнкт-професором, тоді ж, під час відпустки, зав'язує дружбу з Ріхардом Дедекіндом. У 34 роки Кантор стає професором математики. У 1879-84 він систематично викладає своє вчення про нескінченності; В«ввів поняття граничної точки, похідного безлічі, побудував приклад досконалого безлічі, розвинув одну з теорій ірраціональних чисел, сформулював одну з аксіом безперервності В»[8]. Незважаючи на таку успішну кар'єру, мріє про посаду в більш престижному університеті, наприклад, Берлінському. Однак, мріям не вдається втілитися в життя: багато сучасників, в тому числі Кронекер, який розглядається зараз як один із засновників конструктивної математики, з ворожістю ставляться до канторовской теорії множин, оскільки та стверджує існування множин, що задовольняють певним властивостям, - без надання конкретних прикладів множин, елементи яких б дійсно задовольняли цим властивостям.
У 1984 Кантор випробував напад глибокої депресії і на час відходить від математики, зміщуючи свої інтереси в сторону філософії. Потім повертається до роботі. У 1897 році він припиняє наукову творчість. Помер Кантор в Галле 6 січня 1918 року.
Одна з актуальних проблем XIX століття була проблема нескінченного розподілу відрізків і існування точки, що належала всім таким Стягуюче відрізкам. Ця завдання вимагала поняття дійсного числа.
Побудова Кантором теорії дійсного числа було опубліковано 1872 року, майже одночасно з теорією Вейерштраса і Дедекинда. У своєму побудові Кантор виходить з наявності раціональних чисел. Потім він вводить фундаментальні послідовності Коші і приписує їм формальний межа. Далі, він розглядає розбиває всі послідовності на класи еквівалентності. До одного й того ж класу послідовності відносяться тоді і тільки тоді, коли їх різниця прагне до нуль, тобто. Далі, формальні межі рівні один одному, якщо вони мають дві такі фундаментальні послідовності, які еквівалентні один одному або. Відношення порядку визначається наступним чином.
Якщо і те. Якщо те. p> Таким чином, класи еквівалентності описують деякі речові числа. Назвемо їх речовими числами першого порядку. Якщо ми спробуємо утворити дійсне число більшого порядку, складаючи фундаментальні послідовності Коші, то отримаємо знову безліч речових чисел першого порядку. Іншими словами, безліч дійсних чисел замкнуто. p> Кантор звертає увагу той факт, що у визначенні дійсного числа лежить актуально нескінченна безліч раціональних чисел: В«... до визначення якогось ірраціонального числа завжди належить деякий строго певну безліч першої потужність раціональних чисел В»[3].
Зауважимо, що побудова Кантора можна узагальнити на інші об'єкти, що була зроблено Кантором і його послідовниками, В«розробка теорій дійсного числа була досить суттєвою передумовою створення теорії множин В»[4, стор 63]. Наприклад, на основі своєї побудови дійсного числа Кантор згодом свою теорію трансфінітних чисел.
Крім того, Кантор ввів поняття потужності множин і довів нееквівалентність ірраціональних і раціональних чисел. p> 4.3В Ріхард Дедекінд
Дедекінд Ріхард Юліус Вільгельм народився 6 жовтня 1831 в Брауншвейгу (Нижня Саксонія). Там він провів більшу частину свого життя і помер 12 лютого 1916. Відучившись у Карлівському колегіумі в його рідному місті, в 1850 році Дедекінд вступає до Геттінгенського університету, провідний і найстаріший у Нижній Саксонії. У числі його університетських друзів був Бернхард Ріман.
У 1852 році в віці 21 рік Дедекінд отримує докторську ступінь за роботу над дисертацією з теорії інтегралів Ейлера. Потім, відучившись в Берлінському університеті 2 роки, він повернувся в Геттінген і на посаді приват-доцента викладав курси теорії ймовірності та геометрії. У 1855 році, після смерті Гаусса, його кафедру зайняв Дирихле, спілкування з яким справила величезний вплив на Дедекинда; вони стали близькими друзями. Перший час Дедекінд вивчав еліптичні і абелеві функції. Крім того, він був першим в Геттінгені, хто викладав теорію Галуа і ввів в широке вживання запропоноване Галуа поняття поля.
У 1858 Дедекінд почав викладати в Технічному університеті в Цюріху. Коли в 1862 році Карлівський колегіум був перетворений в Технічний інститут, Дедекінд повертається до рідного Брауншвейг на посаду професора, де до кінця свого життя викладає.
У 1971 при перевиданні "Лекцій з теорії чисел" Діріхле, в десятому (У більш пізніх вида...
