„) dП„
Звідси і з визначення констант видно, що рівність
M {(1/T) ∫ X (t) dt | 2 } = (2/T) ∫ k (τ) (1 - τ/t) dτ
Справедливо.
Теорема
Якщо кореляційний функція k (П„) стаціонарного випадкового процесу X (t) задовольняє умові
Lim (1/T) ∫ | k (τ) | dt = 0
Те X (t) є ергодичним з математичного очікуванню.
Дійсно, враховуючи співвідношення
M {(1/T) ∫ X (t) dt | 2 } = (2/T) ∫ k (τ) (1 - τ/t) dτ
Можна записати
0 ≤ (2/Т) ∫ (1 - П„/t) k (П„) dП„ ≤ (2/T) ∫ (1 - П„/t) | k (П„) | dП„ ≤ (1/T) ∫ | K (П„) | dП„
Звідси видно, що якщо виконана умова, то
Lim (2/T) ∫ (1 - τ/T) k (τ) dτ = 0
Тепер, беручи до уваги рівність
С = (1/Т 2 ) ∫ (Т - П„) k (П„) dП„ - (1/T 2 ) ∫ (T - П„) k (П„) dП„ = 2/T ∫ (1 - (О¤/T)) k (П„) dП„
І умова Lim M {| (1/T) ∫ X (t) dt | 2 } = 0
ергодичність по математичному очікуванню стаціонарного випадкового процесу X (t), знаходимо, що необхідну доведено.
Теорема.
Якщо кореляційний функція k (П„) стаціонарного випадкового процесу
X (t) інтегровна і необмежено убуває при П„ в†’ в€ћ, тобто виконується умова
При довільному Оµ> 0, то X (t) - ергодичний з математичного очікуванню стаціонарний випадковий процес.
Дійсно, враховуючи вираз
Для Т в‰Ґ Т 0 маємо
(1/T) ∫ | k (τ) | dτ = (1/T) [∫ | k (τ) | dτ + ∫ | k (τ) | dτ ≤ (1/T) ∫ | K (τ) | dτ ε (1 - T 1 /T). br/>
Переходячи до межі при Т в†’ в€ћ, знайдемо
0 ≤ lim ∫ | k (τ) | dτ = ε.
Оскільки тут Оµ> 0 - довільна, скільки завгодно мала величина, то виконується умова ергодичності по математичному очікуванню. Оскільки це треба з умови
Про необмеженій убуванні k (П„), то теорему варто вважати доведеною.
Доведені теореми встановлюють конструктивні ознаки ергодичності стаціонарних випадкових процесів.
Нехай
X (t) = m + X (t), m = const. br/>
Тоді M [X (T)] = m, і якщо X (t) - ергодичний стаціонарний випадковий процес, то умова ергодичності Lim M {| (1/T) ∫ X (t) dt | 2 } = 0 після нескладних перетворень можна представити у вигляді
Lim M {[(1/T) ∫ X (t) dt - m] 2 } = 0
Звідси випливає, що якщо X (t) - ергодичний з математичного очікуванню стаціонарний випадковий процес, то математичне сподівання процесу X (t) = m + X (t) наближено може бути обчислено за формулою
M = (1/T) ∫ x (t) dt
Тут Т - досить тривалий проміжок часу;
x (t) - реалізація процесу X (t) на відрізку часу [0, Т].
Можна розглядати ергодичність стаціонарного випадкового процесу X (t) за кореляційної функції.
Стаціонарний випадковий процес X (t) називається ергодичним по кореляційної функції , якщо
Lim M {[(1/T) ∫ X (t) X (t + τ) dt - k (τ)] 2 ]} = 0
Звідси випливає, що для ергодичного по кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу X (t) можна покласти
k (τ) = (1/T) ∫ x (t) x (t + τ) dt
при досить великому Т.
Виявляється, умова
обмеженості k (П„) достатньо для ергодичності по кореляційній функції стаціонарного нормально розподіленого процесу X (t).
Зауважимо, випадковий процес називається нормально розподіленим , якщо будь-яка його скінченновимірна функція розподілу є нормальною.
Необхідною і достатньою умовою ергодичності стаціонарного нормально розподіленого випадкового процесу є співвідношення
τ 0 : lim (1/T) ∫ [k (τ) 2 + k (τ + τ 0 ) k ( τ - τ 0 )] (1 - τ/T) dτ = 0
Література
1. Н.Ш. Кремер В«Теорія ймовірностей і математична статистика В»/ ЮНИТИ/Москва 2007.
2. Ю.В. Кожевников В«Теорія ймовірностей і математична статистика В»/ Машинобудування/Москва 2002.
3. Б.В. Гнеденко В«Курс теорії ймовірностейВ»/Головна редакція фізико-математичної літератури/Москва 1988. br/>
