я неперервної функції знак межі можна вносити під знак функції. Приклади: Дослідити безперервність в точці заданих функцій:
);
) 3) 4).
Рішення . У точці:
) функція не є безперервною, так як порушено перша умова безперервності - існування;
) функція не є безперервною - перша умова безперервності виконано, існує (), але порушено друга умова - відсутня межа функції точці, тобто не існує (точніше кажучи, існують односторонні межі ліворуч і праворуч, але вони не рівні);
) функція не є безперервною - перші дві умови безперервності виконані: існує () і кінцевий межа, але порушено третя основна умова -.
) функція є безперервною, так як виконані всі три умови безперервності -.
Очевидно, що безперервність функції в даній точці виражається безперервністю її графіка при проходженні даної точки (без відриву олівця від аркуша паперу).
Сформулюємо ще одне (друге) визначення безперервності функції в точці.
Дамо аргументу функції прирощення. Тоді функція одержить приріст, яке визначається як різниця нового і старого значення функції:. p> Визначення 2. Функція називається безперервної в точці, якщо вона визначена в цій точці і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто
. (3)
Приклад. Використовуючи визначення 2, покажемо, що функція неперервна в будь-якій точці. p> Даючи аргументу прирощення, отримаємо приріст функції:
В
або
.
Переходячи до межі в лівій і правій частинах рівності при, отримаємо
В
так як, а
(твір обмеженою величини на нескінченно малу є нескінченно мала).
Таким чином, функція неперервна в будь-якій точці.
Безперервність функції в будь-якій точці доводиться аналогічно.
Визначення. Функція називається безперервної в інтервалі, якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу. p> Визначення. Функція називається безперервної на відрізку, якщо вона неперервна в інтервалі і в точці вона неперервна праворуч (тобто), а в точці неперервна зліва (тобто).
Визначення. Точки, в яких функція не є безперервною, називаються точками розриву функції. p> Класифікація точок розриву
Усувний розрив. Точка називається точкою усувного розриву функції, якщо граничне значення функції в цій точці існує, але або функція не визначена в цій точці, або її граничне значення не дорівнює приватному значенням. p> Якщо функція має в точці розрив такого роду, то його можна усунути, визначивши значення функції в точці рівним її граничним значенням в цій точці. Наприклад, функція не визначена в точці, але має в цій точці граничне значення, рівне 1. Отже, точка є точкою усувного розриву. Якщо покласти значення функції в нулі рівним 1, то отримаємо безперервну функцію
В
Розрив першого роду. Точка називається точкою розриву першого роду, якщо в цій точці функція має кінцеві, але не рівні один одному праве і ліве граничні значення:
.
Наприклад, для функції точка є точкою розриву першого роду. Дійсно,, а. p> Розрив другого роду. Точка називається точкою розриву другого роду, якщо в цій точці функція не має хоча б одного одностороннього граничного значення, або якщо, принаймні, одне з односторонніх граничних значень нескінченно. p> Раніше ми показали, що функція не має граничного значення в точці. Отже, точка є для даної функції точкою розриву другого роду. p> Функція також має в точці розрив другого роду, оскільки.
Визначення. Функція називається кусково неперервної на відрізку, якщо вона неперервна у всіх внутрішніх точках цього відрізка, за винятком, може бути, кінцевого числа точок, в яких має розрив першого роду, і, крім того, має односторонні граничні значення у точках і.
Арифметичні операції над функціями, безперервними в точці
Теорема. Нехай задані на одному і тому ж безлічі функції і неперервні в точці. Тоді функції,, і також безперервні в точці (приватне за умови). p> Доказ. Оскільки і безперервні в точці, то й. Використовуючи теорему про межах функцій, отримаємо:
,
,
.
Отже, згідно з визначенням 1, функції,, і безперервні в точці (приватне за умови).
Складна функція і її безперервність
Послідовне застосування двох або декількох функцій називається суперпозицією цих функцій.
Функції, утворені в результаті суперпозиції двох або декількох функцій будемо називати складними функціями. Наприклад, складна функція утворена в результаті суперпозиції функцій і. Досить визначити складну функцію, утворену в результаті суперпозиції двох функцій. Визначення. Нехай функція визначена на деякій множині і нехай - безліч значень цієї функції. Якщо на зазначеному безлічі визначена інша функція, то говорять, що на множині з...
