, p> а в другому випадку з рівності В
слід
,В , p> де і цілі, - непарне число і,. Вирішуючи ці дві системи рівнянь щодоВ і і знаходячи, ми отримуємо або
,В , Або
,В ,, p> де непарній. Об'єднуючи ці дві форми подання рішення,В , Ми отримуємо загальну формулу
,В ,, p> де непарній. Але для того щоб і були цілими числами, необхідно, щоб було парних. Вважаючи іВ , Ми отримаємо остаточно загальні формули, що дають всі рішення рівняння (19) в цілих позитивних без загального дільника, більшого 1, числах ,,:
,,, (19 ')
де і позитивні, взаємно прості і непарній. За цих умов величини і вибираються довільно, але так, щоб було позитивно. Формули (19 ') дійсно дають всі рішення в цілих позитивних і взаємно простих числах,, , так як, з одного боку, ми довели, що,, в цьому випадку повинні представлятися по формулами (19 '), а з іншого боку, якщо ми задамо числа і , задовольняють нашим умовам, то,, будуть дійсно взаємно прості і будуть рішенням рівняння (19).
4. ЗАГАЛЬНИЙ ВИПАДОК УРАВНЕНИЯ ДРУГИЙ СТУПЕНЯ З ДВОМА НЕВІДОМИМИ
У цьому пункті ми доведемо, що за будь цілому позитивному і ірраціональному рівняння
В (20)
завжди має нетривіальне рішення, іншими словами існує пара цілих чисел і;, яка йому задовольняє. Насамперед, вкажемо прийом, що дозволяє розкласти в ланцюгову дріб довільне позитивне число. Нехай - будь-яке позитивне число. Тоді завжди існує ціле число, яке буде менше або дорівнює і більше. Таке ціле число носить назва цілої частини і позначається. Різниця між і його цілою частиною називається дробової частиною числа і позначається. З визначень цілої частини і дробової частини числа безпосередньо слід співвідношення між ними, саме:
В
або
В . (21)
Так як дрібна частина числа є різниця між позитивним числом і найбільшим цілим числом, його не перевищують, то дрібна частина числа завжди менше одиниці і неотрицательна. Наприклад, ціла частина є 5, а подрібнена його частина є, ціла частина є 1, а дрібна частина дорівнює; ціла частина дорівнює 3, а дробова частина дорівнює, і т. д.
Введене нами визначення цілої частини і дробової частини позитивного числа може бути використано для розкладання цього числа в ланцюгову дріб. Покладемо:
,В . p> Тоді
.
Так як завжди менше одиниці, то завжди більше одиниці. Якби було саме цілим числом, то його дрібна частина дорівнювала б нулю, було б одно нескінченності і ми мали б рівність . Відволікаючись від цього окремого випадку, який виключається тим, що ми розкладаємо в безперервний дріб ірраціональне число, ми можемо стверджувати, що - позитивне число, більше одиниці. З цим числом ми чинимо так само, як і з, і пише...
