ign=center>; (17)
У силу непарності з (15) отримуємо, що,В і також непарні. Більше того,В , Бо інакше з рівностей
і
слід було б, що величини і мають загальний дільник, що суперечить припущенням про їх взаємної простоті. Числа і пов'язані з взаємно простими числами і равенствами
,В p> і в силу цього самі взаємно прості; , так як, що ясно з рівностей (14).
Підставляючи в рівності (15) - (17), отримаємо формули :
,,, (18)
дають при непарних взаємно простих іВ всі вільні від загальних дільників трійки цілих позитивних чисел,В ,, Задовольняють рівняння (12). Простий підстановкою , і в рівняння (12) легко перевірити, що при будь-яких і числа (18) задовольняють цього рівняння.
Для початкових значень іВ формули (18) призводять до наступних часто зустрічається равенствам:
В
Як вже було сказано, формули (18) дають тільки ті рішення рівняння
,
в яких числа, і не мають спільних дільників. Всі інші цілі позитивні рішення-цього рівняння виходять множенням рішень, містяться в формулах (18), на довільний спільний множник .
Тим же шляхом, яким ми отримали всі рішення рівняння (12), можуть бути отримані і всі рішення інших рівнянь того ж типу.
П р и м і р II. Знайдемо всі рішення рівняння
В (19)
в цілих позитивних попарно взаємно простих числах,,.
Зауважимо, що якщо,, є рішення рівняння (19) і,, не мають спільного дільника, відмінного від 1, то вони і попарно взаємно прості. Дійсно, якщо і кратні простому числу, то з рівності
В
слід, так як його ліва частина - ціле число, що кратно . Те ж саме буде, якщо і або і діляться на. p> Зауважимо, що повинно бути числом непарних для того, щоб загальний найбільший дільник,, дорівнював 1. Дійсно, якщо парне, то ліва частина рівняння (19) буде парним числом і, значить, z також буде парних. Але і будуть тоді кратні 4. Звідси випливає, що повинно ділитися на 4, іншими словами, що теж повинно бути парним числом. Значить, якщо парне, то всі числа,, повинні бути парними. Отже, у вирішенні без загального відмінного від 1 дільника має бути непарною. Звідси вже випливає, що і має бути теж непарних. Переносячи в праву частину, ми отримуємо:
.
АлеВ і мають загальним найбільшим дільником 2. Дійсно, нехай їх загальний найбільший дільник буде . Тоді
,В , p> де і - цілі числа. Складаючи і віднімаючи ці рівності, ми будемо мати:
,.
АлеВ і непарні і взаємно прості. Тому загальний найбільший дільник і буде 2. Звідси випливає, що. p> Отже, або, або непарній. Тому або
числа
іВ p> взаємно прості, або взаємно прості числа
іВ . p> У першому випадку з рівності
В
випливає, що
,В ...
