мо рівність
,,
Продовжуючи цей процес, ми отримуємо ряд рівностей:
(24)
Цей процес послідовного освіти цілих чисел,,,,, у разі, коли, - раціональне число, - іншими словами, коли, де і - цілі позитивні числа, - як неважко помітити, нічим не відрізняється за своїми результатами від отримання неповних приватних за допомогою алгоритму Евкліда (див. формулу (6)). Він повинен тому обірватися при раціональному. При ірраціональному цей процес повинен бути нескінченним. Дійсно, якби при якому-небудь було цілим числом, то-звідси слід було б, що було б раціональним, що в свою чергу спричиняло б за собою раціональність і т. д. і, нарешті, раціональність. З формул (23), роблячи послідовні заміни, виключаючи,,, ми отримаємо ланцюгову дріб
(24)
яку, тому що можна взяти як завгодно великим, можна записувати і у формі нескінченної ланцюгової дробу
Т е про р е м а III. При будь-якому цілому позитивному і ірраціональному рівняння (20)
В
має нетривіальне рішення ,,.
Розглянемо рівняння загального вигляду,
В (25)
де - ціле, - ціле число, - ірраціональне число. При це рівняння завжди має незліченну безліч рішень в цілих числах і . При довільних і таке рівняння може взагалі не мати рішень.
П р і м е р.. Покажемо, що рівняння
(26)
взагалі не вирішуване в цілих числах і . Зауважимо, перш за все, що квадрат непарного числа при діленні на 8 завжди дає в залишку 1. Дійсно, так як будь-яке непарне число а може бути записано у формі, де - ціле число, то
, (27)
де - ціле число в силу того, що або , або має бути парним числом. Далі, якщо - рішення рівняння (27),. то і не можуть бути числами однаковою парності. Якщо б і були одночасно парними або непарними, то було б парним числом і не могло бути дорівнює 1. Якщо ж непарній, а парне, то при діленні на давало б в залишку 1, ділилося б на 4 і при діленні на 4 давало б в залишку 1. Це неможливо, тому що при діленні на 4 права частина тривіально дає в залишку абоВ . Нарешті, якщо парне, а непарній, то ділиться на 4, на підставі (26) може бути записано у формі
В
і, значить, при діленні на 4 дає в залишку 1. Тому при розподілі на 4 повинно знову давати в залишку 1, що, як ми вже бачили, неможливо. Тому не існує цілих чисел і, які могли б задовольняти рівнянню (26).
Чи не зупиняючись на питанні, за яких умов, накладених на і, рівняння (25) буде мати рішення, - питанні важкому і вирішуваною за допомогою загальної теорії квадратичних иррациональностей в алгебраїчній теорії чисел, - ми зупинимося на випадку, коли рівняння (25) має нетривіальні рішення. Як і раніше нетривіальним рішенням ми будемо називати рішення , якщо. Отже, нехай рівняння (25) ...
