. p> Коефіцієнт кореляції - величина безрозмірна з межами зміни - В± 1. При r = 0 лінійна зв'язок повністю відсутній. Знак r (+) або (-) вказує на характер зв'язку (пряма або зворотна).
Рівності | R | = 1 означає наявність лінійного функціональної залежності між величинами х і у.
незміщеними і заможними оцінками математичних сподівань Х = Мх і У = Му служать емпіричні середні значення:
;
незміщеними і заможними оцінками дисперсії і служать емпіричні дисперсії:
незміщеними і заможної оцінкою кореляційного моменту служить емпіричний кореляційний момент (коваріація)
За цими оцінками визначають емпіричний коефіцієнт кореляції:
який дає заможну, але зміщену оцінку теоретичного коефіцієнта кореляції r (зміщення, при n> 50 складає менше 1%).
Значимість r перевіряється шляхом порівняння величини | r | Г— з його критичними значеннями Н при заданій надійності r. При | r | Г—> H гіпотеза про кореляційної зв'язку підтверджується з надійністю r. Довірчі оцінки r складні і розроблені для випадку нормального спільного розподілу ймовірностей величин X і У. Для наближених довірчих оцінок істинного значення коефіцієнта кореляції є номограми [322]. Емпіричний коефіцієнт r може бути оцінений оперативно графічним способом [44]. Довірчі інтервали для емпіричного коефіцієнта кореляції r, при малому кількості спостережень n дозволяє визначити наступне перетворення, запропоноване Р. Фішером:
Величина Z при невеликих n з хорошим наближенням слід нормальному закону cо середнім
і дисперсією
Це дозволяє побудувати довірчий інтервал [Z1, Z2] для MZ за формулою:
звідки випливає, що справжнє значення r з тією ж довірчою ймовірністю (1-a) укладено в межах:
th Z1
де th - гіперболічний тангенс аргументу, який визначається за таблицями. Використання Z-перетвореної величини r-виявляється більш кращим [76]. Параметри емпіричної прямої регресії у на х оцінюються за формулами:
де ву/г - емпіричний коефіцієнт регресії у на х.
Параметри лінійної функції задовольняють принципом найменших квадратів
по у: сума квадратів відхилень спостережених значень уi від
розрахованих за рівнянням прямої регресії менше, ніж сума квадратів відхилень їх від будь-який інший прямий, тобто має місце не
рівність:
Найменша сума квадратів відхилень спостережених значень уi від лінійної функції Ахi + B, тобто сума квадратів відхилень їх від значень може бути виражена через емпіричний коефіцієнт регресій за формулою:
Аналогічний підхід з оцінки параметрів прямої регресії x на у. Довірчі оцінки параметрів прямої регресії у на х (аналогічно х на у) виконуються з використанням суми квадратів відхилень виміряних значень yi від розрахованих за рівнянням прямої регресії. Прийнято, що всі помилки виміру незалежні і слідують ...
