роявляються стохастичні (імовірнісні) зв'язку, коли заданому значенню випадкової величини X = х відповідає не визначене значення У, а деякий набір її значень-у1, у2, у3 ... уn; кожне з яких характеризується певною ймовірністю -P1, p2, p3 ... pn. Функція розподілу величини У, відповідна значенню Х = х характеризується математичним очікуванням `Ух і дисперсією.
Розподілу величини У відповідні обраним значенням величини X, називаються умовними розподілами, а дисперсії умовними дисперсіями. Геометричне місце точок, відповідних центрам умовних розподілів `ух називається регресійної залежністю, а рівняння її - рівнянням регресії. Аналогічно кожному значенню розподілу величина У = у відповідає деяка функція розподілу величини X з математичним очікуванням `ху і дисперсією.
Система з двох випадкових величин завжди будуть відповідати дві регресійних залежності:
ух = f (X) і ху = f (у)
У окремому випадку залежно можуть бути лінійними, у загальному випадку - нелінійними.
Для лінійної регресії система рівнянь має вигляд:
у = А1 + в1 Г— х (регресія у на х);
х = А2 + В2 Г— у (регресія х на у). p> Рівняння нелінійної регресії відповідають більш складної залежності, але практично завжди можуть бути апроксимовані по частинах рівняннями прямих або поліномами до третього порядку.
У Загалом, регресія може бути однозначно описана, якщо відомий вид рівняння і значення коефіцієнтів при невідомих. Зупинимося на аналізі лінійної регресії. В системі двох рівнянь лінійної регресії коефіцієнти а1 і А2, визначають положення початкових точок рівнянь і називаються коефіцієнтами перетину або вільними членами рівнянь [2, 34, 44, 48]. При а1 = а2, = 0 рівняння виходять з початку координат.
Ступінь залежності (тісноти зв'язку) випадкових величин визначається коефіцієнтами лінійної регресії - в1 і в2, геометрично вони представляють собою тангенси кутів нахилу прямих регресії до осей абсцис і ординат (a і b). У загальному випадку прямі регресії мають спільну точку перетину з координатами у вигляді математичних очікувань величин X і У, а кут g між ними змінюється в межах (0-90 В°) і характеризує також зв'язок між величинами (чим менше g, тим тісніше зв'язок, g = 0 зв'язок - функціональна, тому що обидві лінії зливаються, в1 = 1/В2 або в1 Г— В2 = 1)
Основними числовими характеристиками двовимірного розподілу випадкових величин є показники їх зв'язку: для лінійної регресії - коефіцієнт кореляції і кореляційний момент (коваріація); для нелінійної регресії - кореляційне ставлення [2, 44, 75].
Коефіцієнтом кореляції r між випадковими величинами х і у називається математичне очікування твори їх нормованих відхилень:
де Мх і Му - центри розподілу величин х і у, і - їх дисперсії. Коефіцієнт кореляції r може бути представлений у наступній формі:
Величина М (х-Мх) (у-Му) називається кореляційними моментом (коваріація) - COV (x; y)...
