начає, що точка x повинна лежати ближче до i-й вершині основного трикутника (див. рис. 7), ніж пряма
xi = 1 - Сi (i = 1,2,3)
З нерівності (10) шляхом підсумовування отримаємо
x1 + x2 + x3 ВЈ 3 - (С1 + С2 + С3)
або, враховуючи, що x1 + x2 + x3 = 1, отримаємо
С1 + С2 + С3 ВЈ 2. p> Нерівність (12) є необхідною умовою існування непорожньої з-ядра. З іншого боку, якщо (12) виконується, то можна взяти такі невід'ємні e1, e2, e3, щоб
,
і покласти
xi = 1 - Ci - ei (i =)
Такі значення xi і задовольняють нерівностям (10), тобто такий поділ x = (X1, x2, x3) принад-лежить з-ядру. p> Геометрично непорожнє з-ядро є заштрихованим трикутником (рис. 7), зі сто-ронами, вираженими рівняннями (11)
3 березня
1 2 1 2
Рис. 8 Рис. 9
за умови, що виконується співвідношення
x1 + x2 + x3 = 1,
та рішення будь-якої пари рівнянь (11) є невід'ємними. Так, наприклад, рассмот рим систему
x1 = 1 - С1, x2 = 1 - С2.
Оскільки 0 ВЈ С1 ВЈ 1, 0 ВЈ С2 ВЈ 1, то x1, x2 Ві 0. Звідси отримуємо
x3 = 1 - x1 - x2 = 1 - (1 - С1) - (1 - С2) = С1 + С2 - 1. p> Для того, щоб було x3 Ві 0, необхідно щоб
С1 + С2 - 1 Ві 0
або
С1 + С2 Ві 1.
У цьому випадку з-ядро представлено на рис.7 у вигляді заштрихованого трикутника всередині основного трикутника. Аналогічно розглядаються інші можливі варіанти сполучення-ний нерівностей. Наприклад, якщо С1 + С2 <1, то з-ядро має вигляд заштрихованого чотирьох-кутника всередині основного трикутника (рис.8). Взагалі багатогранник, представляє з-ядро, утворюється як опуклий багатогранник перетинанням прямих (11) та рядків основного трикутника. Якщо, наприклад, виконуються нерівності
С1 + С2 <1; С2 + С3 <1; С1 + С3 <1,
то з-ядро представляється у вигляді шестикутника, заштрихованого на рис.9.
Очевидно, у вирішення кооперативної гри повинні входити поділи, кращі з визначений-ної точки зору. Так, поділи, входять до з-ядро, є стійкими в кілька пасив-ном сенсі, тобто за цих обставин немає підстав відхилятися від такого поділу. Одна-ко, знайти поділ, який не тільки не домінували б якими-небудь іншими Дележа, але сам домінував би будь-який інший поділ, не вдається. Тому рішення відшукують на шляху розширення класу поділів. І це розширення полягає в тому, що рішенням гри повинен бути не один поділ, а деяке їх безліч.
Дж. фон Нейман і О. Моргенштерн запропонували зажадати від безлічі поділів, яке приймається як рішення кооперативної гри наступні дві властивості: внут-реннюю стійкість, що складається в тому, щоб поділи з рішень не можна було протиставити один одному, і зовнішню стійкість, яка полягає в можливості кожному відхиленню від рішення протиставляти деякий поділ, що належить рішенням. В результаті ми приходимо до наступного визначення.
Визначення. Рішенням по Нейману-Моргенштерна (Н-М-ріше...
