ес починається з якогось початкового наближення (чим ближче до нуля, тим краще, але якщо припущення про знаходження рішення відсутні, методом проб і помилок можна звузити область можливих значень, застосувавши теорему про проміжні значення).
Алгоритм
Здається початкове наближення x0.
Ще не виконана умова зупинки, в якості якого можна взяти або (тобто похибка в потрібних межах), обчислюють нове наближення:
.
Задача: Методом Ньютона обчислити мінімум функції двох змінних.
Алгоритм: Нехай (x0, y0) - початкове наближення для точки мінімуму. Чергове наближення обчислюється за формулою:
В
де? (x),? (y) - похідні функції? (x, y) за xі по y, а hi, j - елементи матриці Гессе (матриці других похідних):
h1, 1 =? xxh1, 2 = h2, 1 =? xyh2, 2 =? yy
У Покомпонентний вигляді наведена вище формула має вигляд:
xk +1 = xk - (h2, 2 *? (xk) - h1, 2 *? (yk))/det (h) +1 = yk - (- h2, 1 *? (xk) + h1 , 1 *? (yk))/det (h)
де det (h) - визначник матриці h.
Рахунок ведеться итерациями до тих пір, поки два послідовних наближення не відрізнятимуться по третій нормі більше, ніж на?.
Контрольний приклад
Початкова точка (4, -1, 2).
В
Рис. 2. - Графік функції
Табл. 1. - Значення x, yі z, а також числителей і детермінантою для обчислення цих значень
Xyzh33 * dxh22 * dyh11 *В
Рис. 3. - Графік збіжності при початковій точці (4, -1, 2)
В
Рис. 4. - Графік збіжності при початковій точці (0, 2, -4)
В
Рис. 5. - Графік збіжності при точності 0.1
В
Рис. 6. - Графік збіжності при точності 0.01
Функція для дослідження:
В
Рис. 7. - Графік функції
Табл. 2. - Значення x, yі z, а також похідних і детермінантою для обчислення цих значень
Список літератури
1) Монографії, видані у видавництві Російської Академії Природознавства [Електронний ресурс]. Режим доступу:
2) Планування рішень в економіці. Умова регулярності Слейтера [Електронний ресурс]. Режим доступу:
) Бєльков В.М., Ланшаков В.Л. Автоматизоване проектування технічних систем: Навчальний посібник-Москва: Академія Природознавства, 2009. p>) Акуліч І. Л. Математичне програмування в прикладах і завданнях: Учеб.пособие для студентів економ. спец. вузів. - М.: Вища. шк.,
