an align="justify"> (z)? 0, тобто, де швидкість руху відмінна від нуля.
Отже, при стаціонарному русі лінії ? = const будуть збігатися з траєкторіями частинок.
Цим фактом і пояснюється сама назва лінії струму. Якщо замість W (z) розглядати комплексний потенціал iW (z), то лінії струму стануть еквіпотенціальними і, навпаки, еквіпотенціальні лінії перейдуть в лінії струму. Таким чином, кожна аналітична функція описує двt можливі картини руху рідини. br/>
Інтегрування функцій комплексної змінної
Нехай w = f (z) є довільна безперервна функція комплексного змінного z, визначена в деякій області G площині змінного z, і С - довільна гладка лінія, що лежить у цій галузі, з початком у точці z0 і кінцем у точці z.
В
Рис.
Розіб'ємо дугу z0z лінії С на n часткових дуг за допомогою точок z0, z1, z2, ..., zn-1, zn = z, розташованих послідовно в позитивному напрямку лінії С.Каждой часткової дузі поставимо у відповідність число f (zk)? zk, отримане від множення значення даної функції в лівому кінці цієї дуги на відповідне цій дузі прирощення? zk змінного z:? zk = zk +1- zk. Складемо, далі, суму всіх таких творів, поширивши її на всі часткові дуги (1):
В
Змушуючи максимум довжин всіх часткових дуг прагнути до нуля, доведемо, що вираз (1) прагне до певного кінцевого межі, котра не залежить від того закону, за яким усі часткові дуги прагнуть до нуля. З цією метою, ввівши позначення
В В
представимо вираз (1) у вигляді (2):
В
Змушуючи максимум довжин всіх часткових дуг прагнути до нуля, ми бачимо, що обидві суми правій частині останнього рівності (2) прагнуть відповідно до меж:
В
Отже, ліва частина рівності (2) прагне до певного кінцевого межі, коли довжини всіх часткових дуг за довільним законом прагнуть до нуля. Ця межа ми назвемо інтегралом від f (z) dz вздовж лінії С і позначимо через . Отже (3):
В
Формула (3) дає вираз інтеграла з комплексного змінному через два дійсних криволінійних інтеграла. Її можна переписати в такій формі:
В
Для фактичного обчислення інтеграла з комплексного змінному, припускаючи рівняння лінії С у вигляді z = z (t), (? ? t? ?), маємо (4):
В
Або
В
де R (t) і I (t) - дійсна частина і коефіцієнт при уявній частині виразу f | z (t) | z/(t).
