Якщо перенести початок координат Про системи Ox'y'z 'в єдиний центр поверхні (1), то рівняння (1') прийме вигляд
(I)
Пам'ятаючи, що великий і малий детермінанти ? і ? суть ортогональні інваріанти, можемо для їх обчислення скористатися правою частиною рівняння (I), що дає ? =? 1 ? 2 ? 3 , ? =? 1 ? 2 ? 3 а ' про , тобто а ' про = ? / ? .
Отже, остаточний вигляд рівняння (1) в обраному нами прямокутній системі координат є (Пишемо знову х, у, z замість х ", у", z ".)
(I *)
Тут всі коефіцієнти однозначно (з точністю до загального числового множника k) визначені рівнянням (1) поверхні, в якій би вихідної прямокутній системі координат Охуz ми його ні задавали. Якщо та ж поверхня задана в тій же вихідній системі координат іншим рівнянням: G (x, у, z) = 0, то в силу теореми єдиності всі коефіцієнти многочлена G (х, у, z) виходять з відповідних коефіцієнтів многочлена F (х, у, г) множенням на деяке число k? 0. Так як при переході до нової системи координат О'х'у'г 'многочлени F і G тотожне перетворюються відповідно в многочлени F' (х ', у', z ') і G' (x ', у', z ') , то і для відповідних наведених многочленів F 'і G' зберігається співвідношення G '= kF', так що, зокрема, характеристичні числа многочлена G (тобто квадратичної форми його старших членів) виходять з характеристичних чисел многочлена F множенням на те ж k; то ж справедливо і для відносини ? / ? (за ? ? 0). Останнє ясно і безпосередньо: так як детермінант ? - четвертого порядку, а ? - третього, то при множенні всіх коефіцієнтів многочлена F (х, у, z) на k детермінант
