p>
(9)
Формули (6) - (9) дають шість основних залежностей для лінійних і кутових деформацій від складових переміщення. Ці залежності називаються рівняннями Коші:
(10)
У межі, коли довжини ребер паралелепіпеда прагнуть до нуля, співвідношення Коші визначають лінійні і кутові деформації в околиці точки
Позитивним лінійним деформаціям відповідають подовження, а негативним - укорочення. Кут зрушення вважається позитивним при зменшенні кута між позитивними напрямками відповідних координатних осей і негативним - у противному випадку. p align="justify"> Аналогічно тензору напружень, деформований стан тіла в даній точці описується тензором деформацій
(11)
Як і тензор напружень, тензор деформацій є симетричною матрицею, яка містить дев'ять компонентів, шість з яких є різними.
2.3 Зв'язок між напруженим і деформованим станом для пружних тіл
Залежності між напруженнями і деформаціями носять фізичний характер. Обмежуючись малими деформаціями, зв'язок між напруженнями і деформаціями можна вважати лінійною. p align="justify"> При випробуванні стержня на розтяг (про механічні випробуваннях матеріалів буде детально розказано в наступному розділі) встановлена ​​пропорційна залежність між нормальною напругою і лінійної деформацією в одному напрямку, яка називається законом Гука:
(12)
де пружна постійна називається модулем поздовжньої пружності.
Тим же експериментальним шляхом встановлено зв'язок між лінійними деформаціями в подовжньому і поперечному напрямках:
(13)
де - лінійна деформація в поперечному напрямку, - друга пружна постійна, звана коефіцієнтом Пуассона.
При механічних випробуваннях на чистий зсув встановлена ​​прямо пропорційна залежність між дотичним напруженням і кутовою деформацією в площині дії цієї напруги, яка отримала назву закону Гука при зсуві:
(14)
де величина є третьою пружною постійною і називається модулем зсуву. Однак ця пружна постійна не є незалежною, тому що пов'язана з першими двома залежністю
(15)
Щоб встановити залежності між деформаціями і напруженнями, виділимо з тіла нескінченно малий паралелепіпед (рис.1) і розгл...
