ді, очевидно, справедливо рівність (так як воно зводиться до), а отже, по аксіомі 4 справедливо і, тобто. p>
Теорема. Якщо, то
Доказ. Застосовуючи аксіому 4 до, отримаємо, або, що те ж,, звідки знову в силу аксіому 4 слід
В
Теорема. Вектор x + y не залежить від вибору точки А (так що додавання векторів - операція однозначна). p> Доказ. Повторимо побудова суми при іншому виборі точки А і, отже, з іншими точками В і С. Нові точки будемо позначати штрихованої літерами. Тоді аналогічно
В
причому
В
Звідси згідно аксіомі 4 випливає, що
В
Застосовуючи знову аксіому 4 до рівності
В
отримуємо:
В
тобто результат додавання векторів x, y не залежить від вибору початкової точки А.
Теорема. Додавання векторів - операція комутативна:
x + y = y + x
Доказ. З довільної точки А відкладаємо (аксіома 3), потім, так що
,
крім того, з тієї ж точки А відкладаємо
Так як, то (аксіома 4), тобто p> Можна вважати, що з точки А відкладено спочатку, а потім, так що за визначенням складання
В
Порівнюючи рівності отримуємо:
В
Теорема. Додавання векторів - операція асоціативна:
(x + y) + z = x + (y + z)
Доказ буквально таке ж, як і в елементарній векторної алгебри; повторювати його ми не будемо. p align="justify"> Асоціативність додавання за будь числі доданків векторів є простим наслідком співвідношення (x + y) + z = x + (y + z).
Коротше кажучи, додавання векторів, як воно у нас встановлено, володіє всіма звичайними властивостями. Надалі ми будемо звертатися з ним настільки ж невимушено, як і в звичайній векторної алгебри. p align="justify"> Зазначимо, зокрема, що
В
Дійсно, уявімо вектор x як, а вектор - як. У силу, й тим самим. p> Далі, завжди справедливо рівність
В
Дійсно, уявімо x як; тоді - x з визначення представитися як; але, а значить,.
Теорема. Віднімання - завжди здійсненне і притому однозначна операція. Доказ. Припустимо спочатку, що різниця z знайдена. Додамо до обох частин вектор-y отримаємо:
z + y + (-y) = x + (-y)
У силу асоціативності складання можна в лівій частині скласти спочатку y і-y. Це дає чинності, після чого згідно в лівій частині залишається просто z. Отримуємо в результаті
z = x + (-y),
тобто якщо різниця z існує, то вона обов'язково має такий вигляд. Залишається показати, що x + (-y) дійсно є різниця. Це легко перевірити, складаючи x + (-y) з y і переконуючись, що в результаті виходить x. Отже,
x-y = x + (-y)
Зазначимо, зокрема, що
x-x = x + (-x) =...
