3. Завдання
Задача 1
Доведіть, що розтягнення площині є афінним перетворенням. p> Рішення. Нам треба довести, що якщо A ', B' , C ' - образи точок A , B , C при розтягуванні відносно прямої l з коефіцієнтом k і крапка C лежить на прямій < i> AB , то точка C ' лежить на прямій A'B' . Нехай. Позначимо через A 1, B 1, C 1 проекції точок A , B , C на пряму l , і нехай,,,,,,,. З того, що при проекції на пряму l зберігається відношення довжин пропорційних векторів, випливає, що y = t x і y + ( c - a ) = t ( y + (< b> b - a )). Віднімаючи перша рівність з другого, отримуємо ( c - a ) = t ( b - a ). За визначенням розтягування a '= k a , b ' = k b , c '= k c , тому = y + k ( c - a ) = t x + k (< i> t ( b - a )) = t ( x + k ( b - a )) = t . br/>
Задача 2
Доведіть, що при афінному перетворенні паралельні прямі переходять в паралельні.
Рішення. За визначенням образи прямих - прямі, а із взаємної однозначності афінної перетворення випливає, що образи непересічних прямих не перетинаються. br/>
Задача 3
Нехай A 1, B 1, C 1, D 1 - образи точок A , B , C , D при афінному перетворенні. Доведіть, що якщо, то. p> Рішення. Нехай. Розглянемо спочатку випадок, коли точки A , B , C , D чи не лежать на одній прямій. Тоді ABCD - паралелограм. З попередньої задачі випливає, що A 1 B 1 C 1 D 1 - теж паралелограм, тому. Нехай тепер точки A , B , C , D лежать на одній прямій. Візьмемо такі точки E і F , що не лежать на цій прямій, що. Нехай E 1 і F 1 - їхні образи. Тоді. br/>
Задача 4
Через кожну вершину трикутника проведено дві прямі, що ділять протилежну сторону трикутника на три рівні частини. Доведіть, що діагоналі, що сполучають протилежні вершини шестикутника, утвореного цими прямими, перетинаються в одній точці. p> Рішення. Оскільки аффінним перетворенням будь трикутник переводиться в правильний і при цьому зберігаються відносини довжин паралельних відрізків, достатньо довести твердження задачі для правильного трикутника ABC . Хай крапки A 1, A 2, B 1, B 2,
