тній площині так, як зображено на рис. 4.
Рис. 4 Рис. 5
Враховуючи, що при проведенні експерименту мають місце похибки, природно припустити, що шукану функцію y=j (x) можна шукати у вигляді лінійної функції у=ах + b.
Якщо експериментальні точки розташовані так, як зазначено на рис. 5, то природно шукати функцію у=j (х) у вигляді у=ахь і т. Д.
При обраному виді функції у=j (х, а, b, с, ...) залишається підібрати вхідні в неї параметри а, b, с, ... так, щоб в якомусь сенсі вона найкращим чином описувала розглянутий процес. Широко поширеним методом вирішення даної задачі є метод найменших квадратів. Цей метод полягає в наступному. Розглянемо суму квадратів різниць значень уi, що даються експериментом, і функції j (x, а, b, с, ...) у відповідних точках:
Підбираємо параметри а, b, с, ... так, щоб ця сума мала найменше значення:
Отже, завдання звелася до знаходження значень параметрів а, b, с, ..., при яких функція S (а, b, с, ...) має мінімум.
Ці значення а, b, з, .., задовольняють системі рівнянь
або в розгорнутому вигляді:
Тут мається стільки рівнянь, скільки і невідомих. У кожному конкретному випадку досліджується питання про існування рішення системи рівнянь і про існування мінімуму функції S (a, b, с, ...).
Розглянемо кілька випадків визначення функції у=j (x, а, b, с, ...) .. Нехай у=ах + b. Функція S (а, b) в цьому випадку має вигляд (див. Вираз (1.20)):
.
Це функція з двома змінними а і b (xiі yi- задані числа). Отже,
т. е. система рівнянь в цьому випадку приймає вигляд:
Отримали систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими, а і b. Очевидно, що система має певне рішення і що при знайдених значеннях а і b функція S (а, b) має мінімум.
II. Нехай за аппроксимирующую функцію узятий тричлен другого ступеня
У цьому випадку вираз має вигляд:
.
Це функція трьох змінних а, b, с. Система рівнянь (1.23) приймає вигляд:
або в розгорнутому вигляді:
Отримуємо систему лінійних рівнянь для визначення невідомих a, b, c. З характеру задачі випливає, що система має певне рішення і що при отриманих значеннях а, b, з функція S (а, b, с) має мінімум.
Нехай на підставі експерименту отримані чотири значення шуканої функції у=j (х) при чотирьох значеннях аргументу (n=4), які записані в таблиці:
x1235y786,54,5
Будемо шукати функцію j у вигляді лінійної функції у=ах + b. Складаємо вираз S (а, b):
Продифференцируем у-ие (1.24):
Це функція з двома змінними а і b (xiі yi- задані числа). Отже,
т.е. система рівнянь (1.23) в цьому випадку приймає вигляд:
Отримали систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими, а і b. Очевидно, що система має певне рішення і що при знайдених значеннях а і b функція S (а, b) має мінімум.
Для складання системи для визначення коефіцієнтів а і b попередньо обчислюємо:
Рис. 5
ВИСНОВОК
У висновку ще раз зазначимо, що наші викладу не претендують ні на повноту, ні на строгість. Вони містять огляд правил і формул, які потрібно застосовувати, щоб грамотно обробляти отримані?? е експериментальні дані і приводити їх до загальноприйнятого, всім зрозумілому увазі. Більш глибокий виклад буде потрібно і стане можливим, - лише, коли буде накопичено достатній досвід експериментальної роботи і виявиться, розвинений необхідний для такого викладу математичний апарат.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
2. Іноземцев А. А. Основи конструювання АДіЕУ/А.А. Іноземцев, М. А. Ніхамкін, В. Л. Сандрацький; том 2. М .: Машинобудування, 2008. - 365 с.
. Шкляр М.Ф. Основи наукових досліджень: Навчальний посібник.- М .: Видавничий дім Дашков і К raquo ;, 2008. - 243 с.
. Рожнов В.Ф. Основи теорії інженерного експерименту: Навчальний посібник/Рожнов В.Ф.- М .: МАІ, 2007. - 356 с.
