ординати вершин паралелепіпеда: A (1; 2; 3), B (0; 1; 2), C (1; 1; 3), D (0; 0; 3). Знайти об'єм паралелепіпеда, його висоту, опущену з вершини С, кут між вектором AD і гранню, в якій лежать вектори АВ і АС.
Рішення: За визначенням, обсяг паралелепіпеда дорівнює змішаного добутку векторів, на яких він побудований. Знайдемо ці вектори:
.
Обсяг цього паралелепіпеда.
З іншого боку, обсяг паралелепіпеда, - це площа паралелограма:.
, тоді висота.
Кут між вектором і гранню знайдемо за формулою
.
Так як вектор перпендикулярний грані, в якій лежать вектори. Кут між цим вектором і вектором знаходимо за відомою формулою
. Очевидно, що шуканий кут.
Отже:.
Завдання №4
Перевірити, чи лежать в одній площині точки,. Знайти лінійну залежність вектора, якщо це можливо.
Рішення: Знайдемо три вектори:.
.
Три вектора лежать в одній площині, якщо вони компланарні, т. е. їх мішаний добуток дорівнює нулю:. Отже, ці три вектори лінійно залежні. Знайдемо лінійну залежність від.
.
Вирішуючи цю систему, отримаємо відповідь:, тобто.
Завдання 5
У паралелепіпеді АВСDА1В1С1D1 точка М? - середина діагоналі А1С1 грані A1B1C1D1, точка K? - середина ребра ВВ1. Доведіть, що прямі А1В1, KМ і ВС1параллельни деякій площині.
Рішення:
Введемо вектори:
Трійку некомпланарних векторів приймемо як базису. Розкладемо вектори за векторами цього базису.
Маємо:
Тоді
Це означає, що вектори компланарні, отже, вони паралельні деякій площині, тоді цій площині паралельні і прямі А1В1, KМ і ВС1, для яких вектори є напрямними.
Завдання №6
У кубі, ребро якого дорівнює 6, знайдіть:
а) відстань від вершини до площини
б) кут між діагоналлю грані і площиною
Рішення:
а) Нехай відрізок - перпендикуляр з вершини на Тоді =. Знайдемо довжину відрізка.
За правилом трикутника маємо:
Позначимо: =, a в площині введемо базис де і запишемо розкладання вектора по векторах цього базису у вигляді:=
Так як (за визначенням прямій, перпендикулярній площині), значить,
Коефіцієнти x і y в розкладанні вектора знайдемо, користуючись умовою:,
яке рівносильне системі рівнянь
(,
перш ніж вирішувати цю систему рівнянь, знайдемо скалярні добутки векторів:.
Так як трикутники - правильні і рівні, то довжини їх сторін рівні.
Тоді:
Повернемося до розв'язання системи рівнянь (.
Враховуючи співвідношення (і властивості скалярного добутку векторів, отримуємо:
Тоді
Таким чином,
б) Позначимо Так як ортогональна проекція на
Використовуючи співвідношення (**) і (***) і те, що вектор при має вигляд
Відповідь: а)
Завдання №7
Знайдіть відстань між перехресними діагоналями АВ1 і ВС1 суміжних граней АА1В1В і ВВ1С1С куба ABCDA1B1C1D1, якщо ребро цього куба одно 12.
Рішення:
Введемо вектори: Трійку некомпланарних векторів приймемо як базису і розкладемо вектори за векторами цього базису. Маємо: по векторах цього. Маємо:
Нехай відрізок MH - загальний перпендикуляр прямих AB1 і BC1 (. Тоді довжина відрізка дорівнює відстані між цими прямими:
Так як точка H лежить на діагоналі колінеарні, тому існує таке число x, що.
Аналогічно, в силу коллінеарності векторів.
За правилом ламаної знаходимо:
Значення x і y знайдемо з умови:
Враховуючи, що базисні вектори попарно взаємно перпендикулярні і довжина кожного з них дорівнює 12, маємо:
Отримуємо:
Таким чином, система векторних нерівностей (1) рівносильна системі рівнянь
Тоді
Значить,
Відповідь:
Завдання №8
