ираз можна отримати, обчисливши символічний визначник (зробити це можна по-різному, але краще розкласти по першому рядку):
.
Таким чином,
. (2.8)
Приклад. Обчислити векторний добуток векторів
За формулою (2.8):
Зауважимо, що площа трикутника, побудованого на векторах і, можна обчислити двома способами: як половину довжини знайденого вектора або використовуючи формулу (2.7). Зауважимо, що.
або
Приклад. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах і, якщо
Так як, то обчислимо векторний добуток, використовуючи його властивості:.
Звідси
Змішане твір векторів
Визначення. Змішаним твором векторів називається число - скалярний добуток на векторний добуток.
Змішане твір позначається так:
Нехай в деякій ПДСК
Позначимо
Тоді
Таким чином,
(2.9)
За визначенням скалярного твори
Сумісний початку всіх трьох векторів в одній точці. Тоді (рис. 21)
- площа паралелограма,
- висота паралелепіпеда,
- обсяг паралелепіпеда.
Геометричний зміст змішаного твори: модуль змішаного твори чисельно дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах-співмножник, при цьому, якщо - права трійка, і, якщо - ліва трійка.
.
Властивості змішаного твори
. Необхідною і достатньою умовою компланарності трьох векторів є рівність нулю їх змішаного твори: компланарні
. Кругова перестановка співмножників в змішаному творі не змінює його величини. Перестановка сусідніх співмножників змінює його знак, не змінюючи абсолютної величини:
. У змішаному творі векторне і скалярне твори можна міняти місцями:
. Змішане твір лінійно по кожному з трьох співмножників.
- лінійність по першого співмножники.
Приклад. Знайти об'єм тетраедра, побудованого на векторах, і його висоту, перпендикулярну площині векторів і.
Обсяг тетраедра в 6 разів менше обсягу паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, тому
.
Звідси (зауважимо, що - ліва трійка, так як мішаний добуток негативно).
Щоб знайти висоту, скористаємося формулою
За формулою (2.7)
Демонстраційний варіант контрольної роботи
Завдання №1. Дано координати вершин піраміди А1А2А3А4: А1 (1; 2; 1), А2 (3; - 1; 7), А3 (2; 0; 2), А4 (7; 4; - 2) .. Потрібно знайти: 1) довжину ребра А1А2; 2) кут між ребрами А1А2 і А1А4; 3) кут між ребром А1А4 і гранню А1А2А3; 4) площа грані А1А2А3; 5) обсяг піраміди.
Рішення:
1. Знаходимо координати вектора і довжину ребра
. Кут між ребрами А1А2 і А1А4 обчислюється за формулою
зі скалярного твори.
=
Тому:
. Кут між ребром А1А4 і площиною А1А2А3 - це кут між вектором і його ортогональною проекцією А1А4` на грань А1А2А3.
Вектор перпендикулярний грані А1А2А3, що випливає з визначення векторного добутку векторів:
(Тут.
Як і в попередньому пункті, знаходимо
. Площа грані А1А2А3 знаходимо, використовуючи сенс векторного твори:
. Обсяг піраміди А1А2А3А4 чисельно дорівнює одній шостій модуля змішаного добутку векторів.
Завдання №2
У кубі АBCDA1B1C1D1 зі стороною a точка К є серединою сторони підстави В1С1, точка L ділить іншу сторону C1D1 цього підстави у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини С1, точка N є серединою бічного ребра АА1. Знайдіть площу перерізу, який струменіє через точки K, L, N.
Рішення:
Побудуємо перетин куба через точки K, L, N.
(A1B1C1) KL A1D1=Q, (AA1D1) NQ DD1=T, (BB1C) KG TN, NTLKG - шукане розтин. Площа перетину обчислимо, використовуючи формулу кут між нормальними векторами площині підстави куба і площини перетину. Площа проекції перетину куба на площину ABC можна обчислити як В декартовій системі координат з центром у вершині куба A координати вершин мають вигляд: K Звідси. Нормальний вектор перетину можна прийняти пропорційним (колінеарним) векторному добутку.
=(- 4; - 3; 10).
Нормальний вектор площини підстави Тоді і
Відповідь:
Завдання №3
Дано ко...
