Вектори, простору, гіперплощини, гіперповерхні
Введення
З усіх розділів алгебраїчної науки одним з найбільш розроблених є розділ, званий лінійної алгеброю. Лінійна алгебра вивчає матриці (прямокутні таблиці з чисел), алгебраїчні форми (лінійні, Білінійні і квадратичні), лінійні простори з лінійними перетвореннями в них. Висновки лінійної алгебри особливо важливі для вирішення численних прикладних задач. Її апаратом, не кажучи вже про самій математиці, користуються природні, технічні, економічні, нерідко й гуманітарні науки.
Однією з характерних особливостей лінійної алгебри є те, що дана наука вільно користується геометричним мовою. Тут зустрічаються такі терміни, як вектор, векторний простір, скалярний твір, евклидово простір, ортогональность та інші. Разом з тим об'єкти, до яких застосовуються дані терміни, «зовні» зовсім не схожі на свої геометричні прототипи (прямі, вектора, площині, фігури в 2-х і 3-х мірному просторах). Наприклад, роль векторів (елементів векторного простору) можуть грати такі об'єкти, як многочлени, матриці, функції і т.д.
Незважаючи на зовнішню відмінність, перераховані вище сукупності об'єктів тісно пов'язані між собою: більшість тверджень допускають рівносильну формулювання для кожної з цих сукупностей. Найбільш виразно ця зв'язок виявляється якраз при вивченні довільних векторних просторів (і лінійних перетворень в них).
Таким чином, геометричні терміни, використовувані в лінійній алгебрі, виникли зовсім не для того, щоб вселити «таємничі» уявлення про настільки ж «таємничих» багатовимірних просторах. Геометрична термінологія утворює зручний і образну мову, який, хоча і не може служити засобом доказів, але дуже вдало підкреслює спільність закономірностей, властивих і звичайним геометричним образам і їх багатовимірним аналогам.
Застосування геометричного мови у багато пов'язано і з тим, що відправною точкою для розвитку лінійної алгебри була аналітична геометрія, яка вивчає властивості геометричних об'єктів за допомогою аналітичного методу (в основі якого лежить метод координат).
Для того щоб розібратися з геометричними термінами, які використовуються в лінійній алгебрі, а також самими об'єктами, які вони називають, в першій частині роботи будемо просуватися від простого і відомого до складнішого і абстрактного. Так у § 1 Глави 1 повторимо основні положення векторної алгебри, в тому числі згадаємо визначення вільного вектора в просторі, операції над векторами, поняття коллинеарности, компланарності, лінійної залежності і незалежності векторів в просторі, розглянемо кут між векторами і уточнимо визначення і властивості скалярного твори векторів в просторі. Далі будуть викладені елементи теорії векторних просторів, а саме буде розглянуто поняття векторного простору і його основні властивості, визначений скалярний твір і введено поняття евклідового простору. Далі будуть розглянуті базис, розмірність і підпростору лінійного простору, а також коротко порушена тема лінійних перетворень векторних просторів.
Друга частина роботи присвячена деяким додаткам апарату векторних просторів, в тому числі розглянуті системи лінійних рівнян...
