ться, звідси випливає, що існує така точка, що:
.
Розглянемо
:
за властивостями логарифма
.
Похідна
, підставимо:
.
Отримуємо що
, де.
Оскільки за умовою теореми Лагранжа, звідси випливає нерівність
Враховуючи (1) одержуємо, що
(2).
Аналогічно при отримуємо, що
(3)
З нерівностей (2) і (3) випливає, що
.
Завдання 4. Показати, що
, де
Користуючись цим, переконатися в тому, що корені квадратні з двох послідовних натуральних чисел, що перевищують 25, відрізняються між собою менше ніж на.
Розглянемо функцію
Перевіримо виконання умов теореми Лагранжа на відрізку
1) неперервна на відрізку;
2) дифференцируема на відрізку
Виконуються умови теореми Лагранжа, отже, існує така точка, що:
.
Знайдемо похідну:. Підставами с, отримаємо:
Отримуємо, що:
З того, що число більше числа на одиницю і, випливає, що, де для числа виконується умова
Отримуємо, що:
Покажемо, що корені квадратні з двох послідовних натуральних чисел, що перевищують 25, відрізняються між собою менше ніж на.
Візьмемо натуральне число і запишемо для нього отриману рівність:
З того що, отримаємо:
Розглянемо нерівність:
Отримуємо, що якщо, то виконується нерівність:
Завдання 5. Показати, що різниця між синусами синусами двох кутів не перевищує за абсолютною величиною різниці межд?? цими кутами, взятими в радіальної мірою.
Розглянемо функцію
Перевіримо виконання умов теореми Лагранжа на відрізку
1) неперервна на відрізку
2) дифференцируема на відрізку
Виконуються умови теореми Лагранжа, отже, існує така точка
Знайдемо похідну функції: Підставами
Отримуємо, що:
Так як може приймати значення тільки від - 1 до 1, то отримуємо, що:
Так як, одержуємо, що:
Завдання 6.Найті умовний екстремум функції за умови
Рішення: Складемо функцію Лагранжа
Маємо
Система має два рішення
Далі
При тому функція в точці має умовний мінімум, а пріследовательно, функція має в точці умовний максимум.
Завдання 7.Найті умовні екстремуми функції при наявності обмеження
Рішення: Побудуємо функцію Лагранжа
Стаціонарні точки визначимо з системи
Помножимо перше рівняння на, а друге - на. Після вирахування отримаємо
Якщо, то з перших двох рівнянь системи. Але такі значення змінних і не задовольняють рівнянню зв'язку. Значить і так як то з (27) маємо. Підставляючи це в рівняння зв'язку, отримуємо: звідки. Таким чином, з (1.27).
Отже, єдина стаціонарна точка функції Лагранжа
Далі,
Тоді для при
Отримуємо
З рівняння зв'язку при знаходимо співвідношення для диференціалів і,.
Підставляючи в (1.28), одержуємо рівність
Тому, при в точці функція має умовний максимум, а при - умовний мінімум. Екстремальне значення дорівнює.
Висновок
Справжня робота дає учням новий підхід до багатьох перетворень в математиці, які стандартним шляхом важко розв'язні або розв'язні, але громіздкими способами. Розглянуті підходи нестандартного характеру для учнів здадуться новими і незвичайними, що розширить їх кругозір і підвищить інтерес до похідної.
Отже, геометричний зміст похідної: похідна функції...
