x) gt;? (x) при x gt; x 0.
застосувати теорію Лагранжа до функції f (x) =? (x) -? (x) на відрізку [x 0, x], де x gt; x 0, отримуємо f (x)=f/ (?) (х-х 0), так як f (х 0)=0. Звідси, враховуючи, що
? gt; x 0, f/(?) =?/(?) -?/(?) Gt; 0,
отримуємо f (x) gt; 0, тобто ? (X) gt;? (X) пріx gt; x 0.
Приклад 4. Довести, що
при (37)
Нехай тоді і при x gt; 0 справедливо нерівність так як при це нерівність рівносильна очевидному нерівності 1 gt; 1-x 2. Застосовуючи слідство (4) до функцій? (Х) і? (Х), одержуємо нерівність (37).
. 7 Узагальнена формула кінцевих прирости (формула Коші)
Теорема 6. Якщо функції f (x) і g (x) неперервні на відрізку [a, b], діфференцируєми на інтервалі (a, b), причому g/(х)? 0 у всіх точках цього інтервалу, то знайдеться хоча б одна точка? Є (a, b) така, що
(38)
Розглянемо функцію
де число? виберемо таким, щоб виконувалася рівність? (а) =? (b), яке рівносильне наступному
f (b) -f (a) +? (g (b) -g (a))=0. (39)
Зауважимо, що g (b)? g (a), так як в іншому випадку, згідно теоремі Роля, існувала б точка c Є (a, b) така, що g/(c)= 0 всупереч умовам теореми 4. Отже, g (b) -g (a)? 0, і за рівності (39) випливає, що
(40)
Так як функція? при будь-якому? неперервна на відрізку [a, b] і диференційовна на інтервалі (a, b), а при значенні?, визначається формулою (40), приймає рівні значення в точках а і b, по теоремі Роля існує точка? Є (a, b) така, що?/(?)=0, тобто f/(?) +? g/(?)=0, звідки З цієї рівності і формули (40) випливає твердження (39).
Зауваження 8. Теорема Лагранжа- окремий випадок теореми Коші (g (x)=x).
Зауваження 9. Теорема 4 не можна дістати застосуванням теореми12.3 до чисельника і знаменника дробу, що стоїть в лівій частині рівності (38). Дійсно, це дріб по теоремі 3 можна записати у вигляді де? 1 Є (a, b),? 2 Є (a, b), але взагалі кажучи? 1 ?? 2.
2. Завдання на застосування теорем про середнє значення диференційовних функцій
Завдання на застосування теореми Ролля.
Завдання 1. Довести теорему: якщо рівняння
(1)
має позитивний корінь, то рівняння
(2)
також має позитивний корінь і притому менший.
Розглянемо функцію
Перевіримо для цієї функції умови теореми Ролля на відрізку
1) як многочлен;
2) .
так як - корінь
Умови теореми Ролля виконуються, звідси випливає
.
Знайдемо
.
Використовуючи умову (3) отримали, що
,
що означає що - корінь рівняння (2). Так як, то отже.
Отримуємо що рівняння (1) має позитивний корінь, який більше ніж корінь рівняння (2).
Завдання 2. Показати, що рівняння не може мати двох різних коренів в інтервалі (0,1).
Доказ будемо проводити методом від протилежного.
Розглянемо функцію
Нехай має два різних кореня в інтервалі (0,1). Перевіримо виконання умов теореми Ролля на відрізку [:
1) як многочлен;
2) - коріння, то
Умови Теореми Ролля виконуються, а це означає, що існує така точка
.
Розглянемо рівність, воно рівносильне.
Точки не належать відрізку [, отже і інтервалу !!!
Чи не виконується висновок теореми Ролля, а це означає, що функція не може мати двох різних коренів в інтервалі.
Завдання на застосування теореми Лагранжа
Завдання 3. Довести нерівність
, (
Розглянемо функцію і застосуємо для неї теорему Лагранжа на відрізку
1) f неперервна на відрізку
2) f дифференцируема на відрізку
умови теореми Лагранжа виконую...
