ретворенні зберігається приналежність точок одній прямій і відношення відстаней між ними), а по теоремі про нерухому точку g ( O ) буде нерухомою точкою нового перетворення, значить, вся трансформація є центральна симетрія Z g ( O ) .
. (32)
11.2. Трансформація осьової симетрії афінним перетворенням
Розглянемо довільну точку М , знайдемо її образ при перетворенні. При перетворенні g -1 вона переходить в точку М 1 (рис. 5), яка при осьової симетрії S l перейде в точку М 2 ,В , Про - середина М 1 М 2 , далі М 2 при перетворенні g перейде в точку М 3 . Зауважимо, що точка Про при перетворенні g перейде в середину відрізка ММ 3 (Тому що при афінному перетворенні зберігається приналежність точок одній прямій і ставлення відстаней між ними), і її образ - Про 1 - буде лежати на образі прямий l при перетворенні g - g ( l ) . По теоремі про нерухомих прямих, пряма g ( l ) буде нерухомою прямий нового перетворення. Зауважимо також, що якщо при осьової симетрії прямі, що з'єднують точки з їх образами, були паралельні, то і після трансформації вони будуть паралельні і нахилені під одним і тим же кутом до прямої g ( l ) , значить, вся трансформація є коса симетрія S g ( l ) .
. (33)
12. Трансформація гомотетии аффінним перетворенням
Розглянемо довільну точку М , знайдемо її образ при перетворенні. При перетворенні g -1 вона переходить в точку М 1 (рис. 6), яка при гомотетии перейде в точку М 2 ,, далі М 2 при перетворенні g перейде в точку М 3 . Зауважимо, що точка Про при перетворенні g перейде в точку Про 1 на прямий ММ 3 , причому (тому що при афінному перетворенні зберігається приналежність точок одній прямій і ставлення відстаней між ними), а по теоремі про нерухому точку точка Про 1 буде нерухомою при новому перетворенні, значить, вся трансформація є гомотетия.
. (35)
13. Трансформація аффинного перетворення гомотетии
Далі будемо припускати, що аффінниє перетворення g і g -1 задані аналітично.
g : g -1 : де образи початку координат і...
