sub> ВЈ m * E.
Легко бачити, що теорема перестає бути справедливою, якщо відкинути умова відсутності спільних точок у множин E k . Наприклад, якщо Е 1 = [0, 1], Е 2 = [0, 1] Е = Е 1 + Е 2 , то m * E = 1, m * E 1 + m * E 2 = 2.
Теорема 7 . Нехай Е обмежене безліч. Якщо D інтервал, содержацій це безліч, то
m * E + m * [C D E] = mD.
Д про до а із а т е л ь с т в о . Візьмемо довільне e> 0 і знайдемо таке замкнутий безліч F, що FГЊC D Е, mF> m * [C D E] - e .
Якщо ми покладемо G = C D F, то безліч G буде відкритим обмеженим безліччю, що містить безліч Е, звідки, за допомогою леми знаходимо
m * E ВЈ mG = mD - mF * [C D E] + e.
Звідси, в силу довільності e, слід, що
m * E + m * [C D E] ВЈ mD.
Для того щоб отримати зворотне нерівність
m * E + m * [C D E] Ві mD, (*)
доводиться міркувати тонше.
Візьмемо e> 0 і знайдемо таке відкрите обмежене безліч G 0 , що G 0 Г‰ Е, mG 0
Назвемо кінці інтервалу D через A і B і побудуємо такий міститься в D інтервал (A, b), що
A
Зробивши це, покладемо G = DG 0 + (A, a) + (b, B).
Безліч G відкрито, обмежена, містить E і таке, що
mG
Але крім того (і це тут основне) безліч F = C D G виявляється замкнутим , що випливає з легко перевіряється тотожності F = [а, b] Г— CG.
Так як F ГЊ З D Е, то m * [З D Є] Ві mF = mD - mG> mD - m * E-e.
Звідси, в силу довільності e, слід нерівність (*), а з ним і теорема.
Слідство. У позначеннях теореми буде
m * [C D Є] - m * [C D Е] = m * E - m * E.
Справді, якщо ми змінимо ролі множин Е і С D Е, то отримаємо, що m * [C D Е] + m * Е = mD, звідки
m * [C D Е] + m * E = m * E + m * [C D E],
а це рівносильно доказуваному твердженням.
В
Вимірні безлічі
Визначення. Обмежені безліч Е називається вимірним , якщо його зовнішня і внутрішня заходи рівні один другу:
m * E = m * E.
Їх загальне значення називається заходом множини E і позначається через mE:
mE = m * E = m * E. h3> Цей спосіб визначення поняття заходи належить Лебегу, у зв'язку з чим іноді вимірна множина ...
