R Вў - радіус кола invOr (w1), отримуємо формулу
R Вў = Rr2 p> R2-d2.
Повертаючись до образу описаного кола при інверсії щодо w (O, r), маємо
r
2 = Rr2 p> R2-d2 ГћR2-d2 = 2RrГћd2 = R2-2Rr. p> Закінчимо цей параграф одним абсолютно несподіваним результатом. Спочатку нагадаємо деякі визначення і факти. Окружністю Ейлера трикутника ABC називається коло, що проходить через середини його сторін. На цій окружності також лежать підстави висот DABC і середини трьох відрізків, що з'єднують ортоцентр цього трикутника (тобто точку перетину його висот або їх продолженій7) з вершинами. Оскільки на колі Ейлера лежать дев'ять точок, природно пов'язаних з трикутником ABC, її називають ще окружністю дев'яти точок. Вневпісанной окружністю трикутника ABC називається окружність, що стосується сторони цього трикутника і продовжень двох інших його сторін. У наступній лемі перераховуються деякі властивості вневпісанной окружності. p> Лемма 1. Нехай | AB | = c, | AC | = b, | BC | = a, p - півпериметр DABC, O1 і Oa - центри вписаною (W1) і вневпісанной (wa) кіл (рис. 13), r1 і ra - їх радіуси, X і Xa - Точки дотику цих кіл зі стороною [BC], K і L - з прямою (AC), M і N - З прямою (AB). Нехай також (B1C1) - загальна внутрішня дотична до w1 і wa, відмінна від (BC). Тоді
| AL | = p;
| AK | = p-a, | CK | = p-c, | BX | = p-b;
| BX | = | CXa |;
| BC1 | = | B1C | = | b-c |;
pr1 = ra (p-a); p> r1ra = (P-b) (p-c). p>
Рис. 13
Доказ. 1) Слід з 2 | AL | = | AL | + | AN | = (| AC | + | CXa |) + (| AB | + | BXa |) = 2p. p> 2) Перше рівність виходить з 2 | AK | = | AK | + | AM | = (| AC | - | CX |) + (| AB | - | BX |) = 2p-2a. Решта доводяться аналогічно. p> 3) З 2) і 1) маємо | BX | = p-b = | AL | - | AC | = | CL | = | CXa |. p> 4) При симетрії щодо бісектриси [AOa) кута ГђBAC окружності w1 і wa залишаються нерухомими і відрізок [BC] однієї внутрішньої дотичній переходить у відрізок [B1C1] іншої внутрішньої дотичній. Звідси | BC1 | = | B1C | і | C1N | = | CL |. З останнього рівності в припущенні b> c отримуємо | BC1 | = | AN | - | AB | - | CL | = pc-(pb) = bc. p> 5) Слід з 1) і 2) і з подоби трикутників DAO1K і DAOaL. p> 6) Слід з 1) і 2) і з подоби трикутників DKO1C і DLCOa. p> Лема доведена. p> Лемма 2. Для кіл w (O, R) і w1 (O1, R1) умова invOR (w1) = w1 виконано тоді і тільки тоді, коли w ^ w1. p> Доказ. Нехай invOR (w1) = w1, wГ‡w1 = {A, B} і w1Г‡ (OO1) = {X, Y}. Тоді invOR (X) = Y. Звідси | OX | В· | OY | = R2 = | OA | 2. Тому (OA) - дотична до кола w1. Що означає (OA) ^ (O1A) і w ^ w1. p> Припустимо тепер, що w ^ w1. Позначимо через w2 = invOR (w1). З властивості X отримуємо w2 ^ w. Оскільки існує єдина окружність, проходить через A і B (як і раніше, {A, B} = wГ‡w1) і перпендикулярна w, w2 = w1. Лемма доведена. p> Теорема (Фейєрбах). Окружність Ейлера трикутника ABC стосується вписаною і трьох вневпісанних кіл цього трикутника. p>...
