| B Вў C Вў |: | A Вў D Вў | p> | B Вў D Вў | = | AC |/(| OA | В· | OC |)
| BC |/| OB | В· | OC |: | AD |/(| OA | В· | OD |)
| BD |/(| OB | В· | OD |) = p> = | AC |
| BC |: | AD |
| BD |.
Наступна теорема є вирішенням проблеми H. p> Теорема. Нехай дано точки A, B і число k> 0 (k В№ 1). Безліч F складається з усіх таких точок X площині, для яких | XA |: | XB | = k. Тоді F є колом (Окружність Аполлонія), центр якої лежить на прямій (AB). p> Доказ. На прямій (AB) можна легко знайти дві точки O і C, належать множині F (одна з них буде внутрішньою точкою відрізка [AB], інша - зовнішньої точкою цього відрізка). Розглянемо інверсію щодо кола з центром у точці O довільного радіуса R. Для образів точок A, B і C маємо
| C Вў A Вў |
| C Вў B Вў | = | CA | R2/(| OC | В· | OA |)
| CB | R2/(| OC | В· | OB |) = | CA |
| CB |: | OA |
| OB | = k: k = 1. 1
Нехай X Вў = invOR (X) і F Вў = invOR (F). Тоді, враховуючи (1) і збереження при інверсії відносини чотирьох точок, отримуємо
X ГЋ FГ› | XA |
| XB |: | CA |
| CB | = k: k = 1Г›
Г› | X Вў A Вў |
| X Вў B Вў |: | C Вў A Вў | p> | C Вў B Вў | = 1Г› | X Вў A Вў |
| X Вў B Вў | = 1.
Останнє означає, що F Вў - серединний перпендикуляр до відрізка [A Вў B Вў]. Звідси F = invOR (F Вў) - окружність, діаметр якої лежить на прямій (AB). p> Формула наступної теореми, названа на честь Леонарда Ейлера6, пов'язує між собою радіуси вписаного та описаного кіл довільного трикутника з відстанню між їх центрами. p> Теорема. Нехай для довільного трикутника ABC числа r, R і d відповідно позначають радіуси вписаного та описаного кіл і відстань між їх центрами. Тоді d2 = R2-2Rr. p> Доказ. Точки дотику вписаного кола w (O, r) зі сторонами [AB], [AC] і [BC] позначимо відповідно через K, L і M (рис. 11). p>
Рис. 11
Нехай також w1 (O1, R) - Описана близько трикутника DABC окружність. Розглянемо інверсію щодо вписаного кола w (O, r). Так як прямі (AK) і (AL) є дотичними до кола інверсії, чином точки A буде середина відрізка [KL] (Точка A Вў), аналогічно B Вў = invOr (B) - середина [KM] і C Вў = invOr (C) - середина [LM]. Спосіб окружності w1 (O1, R) буде окружність w1 Вў, через точки A Вў, B Вў, C Вў і має радіус рівний r/2 (так як при гомотетии HO-1/2 окружність w переходить в коло, проходить через середини сторін DKLM, тобто в w1 Вў). Тепер спробуємо з'ясувати, як взагалі змінюється радіус кола при інверсії. Позначимо через X і Y точки діаметра кола w1 (O1, R), що лежать на прямій (OO1) (Рис. 12). p>
Рис. 12
По властивості IX відрізок [invOr (X) invOr (Y)] є діаметром кола
invOr (w1), а по властивості V його довжина дорівнює
| X Вў Y Вў | = | XY |
| OX | В· | OY | В· r2 = 2Rr2
| Rd | В· | R + d | = 2Rr2
R2-d2.
Враховуючи, що | X Вў Y Вў | = 2R Вў, де ...
