рвної, а значить не є рішенням, тобто еквівалентності рішень немає. Очевидно, що дана функція буде вирішенням будь-якого рівняння в контингенции в сенсі останнього визначення за будь-якої правої частини, яка містить точку 0 при всіх
Так само очевидно, що
Визначення Функція називається узагальненим рішенням включення (3), якщо й інтегральне включення
(6)
справедливо для всіх
Позначимо через G (F) безліч узагальнених рішень включення (3).
Теорема Нехай - задовольняє таким умовам:
) - вимірно для всіх;
) - безперервно для всіх
)
Тоді OB (F) = G (F).
Слідство Нехай - багатозначне відображення, яке задовольняє умовам 1) -3) теореми.
Тоді OB (conv F) = G (F).
Визначення Функція називається квазірасшіреніем диференціального включення (3), якщо існує послідовність функцій така, що
1)
)
) = x (t),
)
Безліч квазірішення включення (3) позначимо через Q (F).
Теорема Нехай - задовольняє таким умовам:
) - вимірно для всіх;
) - безперервно для всіх
)
Тоді
Слідство При припущеннях теореми маємо:
В
Визначення Функція називається рімановим рішенням диференціального включення (3), якщо - інтегровна за Ріманом і для всіх
Позначимо через Ri (F) безліч всіх ріманових рішень.
Визначення Функція називається класичним рішенням диференціального включення (3), якщо для всіх. p> Позначимо безліч всіх класичних рішень через KL (F).
Безпосередньо з визначення випливає, що.
Теорема Нехай багатозначне відображення F (t, x) у кожній точці (t, x) області задовольняє таким умовам: 1) безліч F (t, x) - непорожньо і замкнуте;
) F (?, x) - вимірно на D;
) безліч F (t, x) - опукло;
) для будь-якого r> 0 при | x - y | r для майже всіх t маємо
(7)
де функція вимірна по t і неперервна по x,
.
Нехай при функція абсолютно неперервна, її графік міститься в D, і при майже всіх
де
Тоді для знайдеться таке рішення задачі
, (8)
що
(9)
при майже всіх
,
- будь-яке таке, що.
Зауваження Якщо в даній теоремі замість умови 5) виконується умова Ліпшиця, тобто
В
то від вимоги 3) можна відмовитися, а в (9)
В В
Функція називається функцією Камке, якщо вона неперервна по r, вимірна по t, для будь-якого c і при єдиним рішенням задачі є функція. Наприклад, якщо функція суммируема, то k (t) r - функція Камке
Теорема Нехай багатозначне відображення задовольняє таким умовам:
) безліч непорожнє і замкнуте;
) функція суммируема;
) функція вимірна по t при кожному фіксованому x;
) - функція Камке.
Тоді кожне рішення включення
...
