В
cначальним умовою є межею рівномірно збіжної послідовності рішень включення (7).
Теорема Нехай у обмеженою замкнутою області D виконані наступні умови:
1) безліч F (t, x) - неопуклого і замкнуто
2)
) - напівбезперервний зверху на D;
) виміряємо на D;
) безліч опукло.
Якщо всі рішення (7) на відрізку існують і містяться в D, то безліч таких рішень є компактом в просторі. Те ж саме справедливо для безлічі всіх рішень зі всілякими початковими умовами - компакт,. Якщо К-компакт, До D. Якщо К - зв'язний компакт (зокрема, якщо К - точка), то безліч зв'язно. p> Визначення Багатозначна функція називається R-рішенням, породженим диференціальним включенням (7), якщо при кожному t безліч R (t) замкнуто, функція R (?) абсолютно неперервна і для майже всіх t
В
Теорема Нехай F (x, t) при кожному t, x - опуклий компакт і як багатозначна функція неперервна за сукупністю змінних. Тоді існує таке, що на напівінтервалі існує R-рішення, попрожденное багатозначною функцією F (t, x). p> Теорема Нехай F (t, x) задовольняє умові Ліпшиця в деякій околиці Тоді при всіх, для яких рішення визначено і, воно єдино. Більш того, має місце безперервна залежність рішення від початкового безлічі. p> Теорема Нехай при, де безліч відкрито і обмежено і в функція F (t, x) ліпшецева. Тоді безліч R (t) при є безліччю досяжності в момент t з. p> Теорема Для будь-якого компакта існує R-рішення з початковою умовою. Інтегральна воронка є графіком R-рішення R (?). Якщо виконана умова 5) з функцією Камке, то R-рішення з початковою умовою єдино, безперервно залежить від К і його графік є інтегральною воронкою. p align="justify"> Приклад
Нехай.
При відображення не задовольняє умові Ліпшиця.
Нехай Перевіримо, що багатозначне відображення
В
є R - рішенням диференціального включення
,
тобто задовольняє рівнянню
В
При очевидно, що задовольняє (12). p> Нехай
В В
Нехай
В
При співпадає з інтегральною воронкою.
Всі інші відповідні довільним значенням, такі, що
Якщо
В
єдино і збігається з інтегральної воронкою.
Висновки
Таким чином в курсовій роботі вивчена теорія диференціальних включень, розглянуто історичний аспект розглянутого об'єкта, вивчені основи багатозначного аналізу. Для диференціальних включень розглянуті різні поняття розв'язку: звичайні, узагальнені і R-рішення, вивчені умови існування та єдиності цих рішень, розглянуті приклади. br/>
