ує функція така, що для
) - вимірюється.
Для кожного t, имееет замкнутий графік і в кожній точці х, для якої неопуклого, - напівбезперервний знизу.
- локально слабо інтегрально обмежена, тобто для кожного, - слабо інтегрально обмежене для c функцією.
При виконанні одного з даних припущень, буде існувати хоча б одне звичайне рішення включення на деякому сегменті.
Якщо ж у 3ем припущенні замінити остання умова на більш жорстке:
- слабо інтегрально обмежена, тобто існують така, що для майже всіх t і x, то звичайне рішення диференціального включення (3) буде існувати на всьому. p> Теорема Нехай напівбезперервний зверху по на Тоді система співвідношень
) неперервна на.
) всюди на.
еквівалентна системі наступних співвідношень:
3) абсолютно неперервна на.
) майже всюди на.
Визначення Безперервна функція називається рішенням рівняння (2), якщо для майже всіх
.
Можна зробити наступне твердження: Нехай і
) відображення вимірно по x при кожному фіксованому х;
) відображення напівбезперервний по х при кожному фіксованому t.
Тоді безліч OB (F) збігається з безліччю рішень в сенсі останнього визначення.
Але дане твердження невірно, а вказана в ньому еквівалентність не може бути отримана за жодних умов, що накладаються на праві частини, якщо рішення рівняння в контингенции розуміється в сенсі останнього рівняння. Покажемо це на прикладі:
Нехай Звичайним рішенням включення є єдина функція. В якості вирішення рівняння в контингенции в сенсі останнього визначення можна взяти, наприклад, функцію де - довільна константа, а - безперервна монотонно зростаюча функція похідна якої майже всюди дорівнює 0 і Побудуємо таку функцію: Виберемо, задамо по індукції послідовність функцій наступним чином: покладемо нехай визначена, неперервна і лінійна на кожному інтервалі виду, де; тоді ми задамо так, щоб дорівнювало для; в середніх точках зазначених інтервалів; тобто при, покладемо
В
а в інтервалах будемо вважати лінійною. Визначені таким чином функції, очевидно, зростають. Далі,
В
тому послідовність сходиться до деякої неубутною функції. Доведемо, що строго зростає, неперервна і
В
майже всюди.
Нехай x - яка-небудь точка інтервалу [0,1]. Візьмемо послідовність вкладених інтервалів виду де
В
оточуючих точку х. Ми маємо, очевидно,
В
Так як, то
В
звідки отримуємо
.
Звідси випливає, що
В
і
В
таким чином, - функція безперервна й строго зростаюча. Далі, похідна там, де вона існує, дорівнює межі вираження
В
при; але така межа або не визначений, або нескінченний, або, нарешті, дорівнює 0. Отже у всіх точках, де існує, тобто майже всюди.
Тим самим дана функція не є абсолютно непере...
